PAR APPROXIMATION

322. Ayahl à calculer l*aire P© M^ MP d^une courbe quelconque [fig. 75) , on divisera riniervalle Po P en un nombre pair «de parties égaleis, el, en désignant par j»©, j*!,jTt î • • • î J^n-15 y^ les ordonnée^ consécutives, on aura approximativement l'aire comprise entre les ordonnées ^o et

2iP P

Yt , dont la distance est — - — ou a ^.

aire Po M, = - ( jo -f- 4 Ji -♦-/« ) .

De même, entre y j et j4,

aire P, M4 = -^ (js -♦- 4 /»--♦- J*) • Enfin , entre y„8 et IT^

' : aire P„, M :±= ^ ( j„, -f^ 4/n.i -+7 J^ . Donc Taire totale P<> M^ MP,

^^= Q (ro -^ 4.r 1 H- 2/, -+- 4 j8 4- 2 j4 H- . . . -+- 4 j„t ■+: r) ,

ou bien, si l'on appelle en général x^ et X les abscisses extrêmes correspondantes aux ordonnées j^o et J^,

Cette formule d'intégration ou quadrature approximative est due à Thomas. Simpson. Pour (|ue le résultat soit suffisamment exact , il faut que la courbe ne diffère pas trop d^une parabole du second degré , et que , par conséquent, les différences des ordonnées consécutives soient à peu près en progression arithmétique. ; % '

2S8 qvadkatvue

323. Les ordonnées Xo».Xi «* Y (fig' 74) étant éqnûlistantes, on peut cheit^er Taire P^ M, comprise entre le» deux premières en fonction de ces trois ordonnées et de la distance P^Pi égale à d. On troarera ^en suivant la marche précédente ,

aire p. M, M. P. = -i ( 5j^. -^ 8 r. - F) •

On a de même

aireP.M,MP = i-(5r+ Sj,-y,).

324. Les lecteurs sont invités à vérifier (jue, si Ton désigne par Jojjtj y^'i Y^ quatre ordonnées équidistante» d'une parabole du troisième degré, on a Faire de cette courbe

U= f jrd:r=:i(X-xJ(j,4.3j,H-3j.4-r).

325. Intégration par série. Lorsqu'une intégrale ne peut être obtenue par une formule générale y ou quHl fsi difficile de la calculer exactement, on fait quelquefois usage d'un développement en série. Soit, par exemple.

J yi — ^'yi — ax

■ On peut développer (i — ax) ' suivant les puissances de

ax, d'après la formule de Newton (277, 1) appliquée à l'exposant — — On aura

série ccmvergente si ojr est <^ i .

PAR AVPIIOICIMATION. aSp

d ic ■ ' En multipliant par • ■ "^ on aura iy exprimé en une

VI — -sr^

somme de tenues dé la forme - — -^ que Ton sait intégrer

. yi — x^

(3f6,IX).