CENTRES
Joiigueurs des normales telles que MN, menées par les points de la courbe situés sur « -f- 1 ordonnées équîdistantes, depui.s AC jusqu'à BD.
349. Théorème. La projection sur un plan du centre de grawité G d*une portion de surface plane quelconque est le centre de grande G' de /a projection de la surface, SoîtOy {fig' 90) la commune intersection dçs deux plans, A la surface doqt il s'agit, A' sa projection, a, l'angle des deux plans. La surface A étant partagée en éléments trèsétroîts par des perpendiculaires à Oy, soit a la surface de Tun de ces éléments et soit a' sa projectioti. En les considérant comme des parallélogrammes de même hauteur parallèle à Oy, on. aura
a' = a cos CL , d'où A^ == A cosa .
Deux éléments correspondants a, a\ ont leurs centres de grayiié en leurs milieux, et ces milieux^ étant sur une même perpendiculaire au plan de projection, ont lés mêmes coordonnées X, j^ dans le système des trois axes rectangulaires Ox, Oy> Oz. Cela posé, soient X,. JT, les coordonnées de G, JX', J^', celles de G', on aura
-A'X'^^'La'x, Àr^lay.'
Or, en substituant pour a'' et A' leurs valeurs ci-dessus, et supprimant lé facteur constatât cos a, on.trouve pour X' et JT des valeurs égales à celles de X et JT, ce qui démontre la proposition.
L'équation A' ^=^ A cos a dpnne im théorème de géométrie remarquable dont, nous nous sommes servis au n** 123.
350. Théorème. Les centres de gravité de deux lignes, de deux .surfaces ou de deux corps géométriques sem-
' blableSy sont des points homolo.gués.
On peut (217) supposer les deux. figures semblableme^it placées par rapport à trois axes coordonnés, de ^auière qu^à tout ppipt de Tune d'elles dont les coordonnées sont x, fj z, réponde, dans Tautre, un point homologue dont les coordonnées sont Aj?, kjr^ kzy la constante k étant le rapport de similitude.
Divisons la première ligne, la première surface, ou le premier corps, en éléments égaux entre eux, dont la valeur soit a et le àombre n ; soient X, JF, Z^ les coor* données du centre de g;*avitéj nous aurons^ commeàlaNotâ dun«329, • * '
X,na==^ax^ }r,na = ^ay^ Z , naz^^az-^ d où . .
Divisons la. seconde ligne ou surface, ou le second corps, en le même nombre n d'éléments égaux, dont la valeur soit a'; et soient X\ JP, Z', les coordontiées de son. centre de gravité. D'après la remarque faîte ci^essus, nous aurons
QOU
Des équations (i) et (2) on tire
, j:'=*3r, r'=zkr, z'=kz,
ce qui démontre la proposition.
§ IV. CCÏfTRfiS BE GRATITÉ PES VOf^finES;
351. Le centre de gravité d'an paraîlélipipède est en son centre de figui^. En général 4out corps- géométrique ayant
ayO CENTRES
un centre de ûgure a son centre de gravité eu ce point. La raison en est la même qu'au n® 338.
353. Prisme ou cylindre à bases parallèles quelconques. Si on le partage en tranches infiniment minées et égales par des plans parallèles aux bases, ces tranches auront leurs centres de gravité uniformément distribués sur une droite parallèle aux arêtes et joignant les centres de gravité des deux bases* Le centre de gravité du système total est donc an milieu de cette droite.
353. Un corps géométrique étant coupé par des plans parallèles, si les centres de gravité des section^, qui diffèrent aussi peu qu^on veut de ceux des tranches, sont dans un même plan ou sur une même droite, ce plan ou cette droite contient le centre de gravité du corpsw
354. Une pyramide et un cône à hase quelconque sont dans le deuxième cas du numéro précédent : car toutes les sections faites par des plans parallèles à la base sont semblables, et ont leurs centres de gravité, points homologues (350), sur une même droite passant par le sommet. Pour déterminer la position du cjsntre de gravité du corps total ^ on considère le c^s d'une pyrau^ide triangulaire. Prenons A (^gf. 91) pour sommet, le centre de gravité G est sur AI 9 I étant le centre de gravité de la base, et obtenu eu
faisant BE=ED et EI=r^EC; de. mèm'e.C étant pris
pour sommet, G est. sur la droite CH obtenue en faisant EH = I EA. Ainsi IH est parallèle à AC et IH r= 5 AC5
donc GI = ^GA ou GI = 7 AL En partageant une pyra-
micie quelconque en pyramides triangulaires ayant même sommet, on voit que les centres de gravité de celles-ci sont
tous dans un plan parallèle à la base, et mené au quart de là hauteur du sommet commun. Donc le centre de grayité d*une pyramide quelconque^ et par conséquent aussi c2'miz çd/ie, est sur la droite menée du sommet au centre de gra- \>ïté de la base et au quart de cette ligne à partir de la hase,
355. Remarques: i^, jSi ^^fiS- 9^ ^^^ l'exacle projection (et non la perspective) de la pyramide qu'elle représente, la projection G du centre de gravité s'obtient, en faisant sur les lignes de là figure les mêmes opérations quHl faudrait faire dans l'espace sur les lignes qu'elles représentent, pour obtenir le centre de gravité lui-même.
2?, Le centre de gravité d'une pyramide triangulaire est aussi celui de quatre corps égaux dont les centres de gravité seraient placés aux sommets A, B, C, D : car le point I est le centre de gravité des trois corps B, C, D^ et- le point' H est celui des corps A, B, D (40) \ donc le centre de gravité des quatre eorps A^ B, C, D, est à la fois sur Al et sur CH \ il est, par conséquent, à leur intersection.
356. Le centré de gravité d'un polyèdre quelconque peut s'obtenir en le décomposant en pyramides (331 ).
357 . Centre de gra\^ité d'un secteur sphériqué (Jig- 92 ) .' En considérant le secteur'^ comme composé d'une infinité de pyramides égales, ayant leur sommet commun au centre et leurs bases sur la calotte ANB, 0^1 voit que les centres de gravité de ces pyramides élémentaires sont uniforme- <
ment répartis sur une seconde calotte anb semblable à la
première et ayant pour rayon les 7 du rayon OA. Le
centre de gravité cherché e^t donc celui de cette seconde calotte^ il est donc au nlilieu de pn (340).
OG = i (Op +On) - l (OP -h ÔW ).
2y8 CENTBES
358. Centre de gravité du segment de panAoloïde de réx^àlution (fig, 98) engendré par la surface plane MoMPPo tournant autour de A x.
Soient une abscisse quelconque Ap = xet l'ordonnée correspondante mp =y .
Une tranche infiniment mince mm 'm', mi a pour volume .Tty* dx, et pour moment par rapport au plaa projeté en A y, irjr*xdx. On a donc, en appelant Xi^ Tabsciscie du centre de graviié, X^ et X les abscisses extrêmes AP», AP,
Xx I j^'dxs? I j^'jtdx;
le facteur tt disparait, et cette formule est générale pour tout corps de révolution, quelle que soit la courbe gêné* ratrîce.
Dans le cas de la parabole dont Téquation est j^' = a ox, on a
2axdx = a {X* — X])^
d'où
^* — 3Xr—X]~3 -X-hX. ~3\^'*'X+X,)' .
, Oaos le cas du segment à une base MAMi, on a Jï* = o,
etXi===^ Jir=^ AP, comme s'il s'agissait du centre de gra-
vite d'un triangle ayant AP pour hauteur. On voit que c'est parce que dans les deux- cas les^ tranches perpendiculaires à AP $ont proportionneflles^ à leurs distances au point A.
