V. DE QUELQUES PROPRIÉTÉS DES CENTRES DE GRAVITÉ
361. Volume (F un cylindre tronqué à base quelconque. Si le cylindre est droit sur sa base A (fig* pS), soient a un élément de cette base, et a' Télément correspondant de Pautre base A'\ de sorte que a est la projection de a'^ et Pon Sia=:a' cos a, A= A' cos a (349), en désignant par « l'angle dièdre des bases. Soit j" la distance entre a' et (i\ le
!28o CBNTKBS»
volume du petit cylindre ayant pour base a et pour hauteur y sera ay^ et le volume entier sera V^=- ^oy, ou bien
f^=cos«2ay.
Ovlio! y est la somme des moments des éléments de la base supérieure par rapport à Tinférieùre *, donc, en désignant par jri'ordonnée du centre de gravité de la base supérieure par rapport à Tinférieure, on a
f^=cosa^'.r=^.r.
Si les arêtes sont obliques sur les deux bases, le cylindre est la différence de deux autres qui rentrent dans lé cas précédent, et l'on arrive à cette proposition générale : Le volume (ïun tronc de cylindre est égal à l'aire de sa section dœite multipliée parla droite qui joint les centres de gravité des deux bases ^ laquelle droite est parallèle aux génératrices reclilignes. Exemple : Prisme triangulaire tronqué. La distance des centres de gravité est alors le tiers de la somme des trois arêtes (340, Rem.),'
362. La surface de révolution engendrée par une courbe plane quelconque AB (fig. g6) se compose de petites zones . dont chacune a pour expression 2Ttj as, Oryds est le moment de l'^arc ds par rapporta Faxe^ donc, en appelante la longueur de l'arc AB et JT l'ordonnée de son centre de gravité G^ on a Paire de la surface de rév^olntion
^ = 2T:2ydj = 27rJr.Z,
égale à la longuetir de -la Courbe génératrice multipliée par la circonférence >que décrit son centre de gratuité. Si la révolution n'est pas complète, il ne faudra prendre pour mulliplicaicur que Varc décrit par le centre de
gravité.
363: Le volume engendré par la révolution d'une surface plane AMBm (fig. 97) tournant autour de Tàice KL situé datis son plan se compose de tranches dont chacune peut être considérée comme la diffi^repce. de dieux cylindres...
Soient B et r leurs rayons IP, îP; «et soit dx la distance entre Mm etM'm'. Le vçlume engendré parMM'mm' ^era ' /^
Or (/f — r) dx est ï'aire du trapèze MM'mm'^ soit a cette
aire. De plus ~^' - est l'ordonnée gP du centre de gravité
de cette aire, »auf une diÀlérèncë à négliger de plus en plus à mesure que dx diminue; goity cette ordonnée. Le vo- Innie élémentaire considéré est aTrojf, c'est-à-dirie 2 7r multipliant le moment ay de la surface élétneiitaire a par rïipport à l'axe KL. Done, en désignant par J4 l'aire. totale AMBm et par 1*' la distance de son centre de gravité à Taxe CL, on a le volume décrit
^= 27r2aj^= 2 7rY.^,
égal à taire de Ja surface génératrice multipliée par la circonférence ^que décrit son , centre de grauité. Même modification que ci-^dessus si> la révolution n'e$t pias entière.
Ces deux propositions constituent ce qu'on ap|)elle le Théorème de Guldin.
§ VL moments d'inertie et rayons de gyration des corps
géométriques.
364. Si l'on partage un corps géométrique en éléments dont les volumes soient w', ii^'^ iil"^ . . . , et dont les distances
a8a MOvcMTs
à un axe soient /', r", /•'", . . . , la somme
des produits qu'on obtiendrait eu multipliant le volume de chaque élément par le quarré de sa distance à Paxè, est • d'une grande importance en Mécanique dans lès questions relatives au mouvement de rotatiou d'un corps solide homogène autour d'un axe fixe auquel aboutissent les distances r.
Cette somme, que nous représentons par £iir*, et qui dépend non-seulemeut de la figure et de l'étendue du corps, mais encore de la position de Taxe autour duquel' ce corp»est supposé tourner, s'appelle le mo/iifint d^ inertie du volume du corps dont il s^agit autour de cet axe ou relati" i^eme^t a cet axe. On verra en Mécanique l'origine de celte dénomination. L^ quantité S i/r* peijit toujours être égalée, au ppoiduit du volume total £21 par le quarré R^ d'ujie t?értaine distance R comprise entre la plus petite et la plus grande des valeurs de /*. Cette distance, qui satisfait à l'équation
s'appelle 'le rayo Ai de gy ration du corps homosètieou de son volume par rapporter a^e considéré. Sa détermination est du ressort du calcul intégral. Dans les exemptes qui suivent, nous calculerons son quarré, qui entre le plus souvent dans les formules de la Mécanique. Nous le désignerons par /?• et le moment d'inertie du volume sera représenté par /.
365. La détermination du moment d'inertie du volume d'un corps relativement à un axe quelconque est facilitée par un théorème général, au moyen duquel, quand on connaît le moment dMnertie d'un système solide par rapport à un axe passant par le centre de gravité, on trouve immédiar
d'imeutze. a 83
tement celui du même système par rapport à tout autre axe parallèle au premier.
Soient [fig* 98) O35 ce premier axe et AB Tautre axe. Menons Ox perpendiculaire à ces deux droites, et Oy perpendiculaire au plan z Ox. Soit M un point quelconque du système; appelons JC et j^ ses coordonnées parallèles aux axes Ox, Oy. Ainsi 0P= x et PC =y. Sa distance MQ ou r,,
à Taxe Oz est égale à OC ou y^x'-f-j^', et sa distance r k Taxe AB étant égale à AC, on a, en faisant 0A= a,
ou, en multipliant par i/,
équation applicable à tout volume élémentaire u, pourvu qu*on donne à a: le signe convenable, en le faisant négatif quand le point est derrière le plan yOz.
Supposant donc qu'on ait écrit autant d'équations semblables à la dernière qu'il y a d'éléments dans le corps considéré, et les ajoutant, puis remarquant que, puisque Oa passe par le centre de gravité, la somme algébrique £ f/x est nulle (328), on a
donc le moment dUnertie du 'volume d^ un corps, par rapport à un axe quelconque, s'obtient en ajoutant à son moment d'inertie par rapport à un axe mené parallèlement à celui-ci par le centre de gravfitéy le produit du volume entier par le quarré de la distance des deux axes,
366. Moment d'inertie du volume d'une barre droite AB, d'une longueur /, et d'une très -petite section a, relativement à l'axe A^, qui fait avec AB l'angle a (fig- 99).
