MOMENTS
- Soitnii- • "
AP = j?, PF=(lx, PQ = ii=:a:siiia.
On a
u = adx ]
/isin'a.x*dar= asin'a-^*, Z u =^ al ;
/?«=-/• sin«a=iBC«.
367. Moment d'inertie du volume d* une i portion, d'anneau circulaire AB, d^une très-petite section a, autour du rayon AO (Jig' loo).
AB = 5, M]Vr = d5, PP' = djr, MP=j, AO = p, 2i*r'= I fld^.j'*-, dsldxilplji
^ur*z=ap j ydx.
Or
jrdx = aire du segment ABC =-p S p'sinacosa;
donc
/= Sur" =i-^ap^ I.S psin2a
D'ailleurs ^u=si aS ^-donc
Pour un quart de circonférence on a
in2a=:oj I = -ap^S et lV==i-p*
sin
I>'lliiElWTIE. 1285
Il en est de même pour une demi-circonférence, et pour une circonférence entière.
Le cas particulier du quart de circonférence s'obtient très-simplement copime il suit. Soient Ox et Oy les deux rayons extrêmes. Le moment d'inertie de Tànneau a la même valeur, soit qu on le prenne autour de Ox, ou autour de Oy. Donc, en a|)pelant x et y les coordonnées d'un poixit quelconque de l'arc, on a
d'où
= I ay^ àiS et 1= / ax*dv, 2l = a '/ {x^-\^y'^) d5.
Or, dans le cas particulier dont il s'agit, on a aussi
donc
I==ap' I dj=:;ap?*$,
/=iflû*5 ei R* = -p«.
368. Moment d* inertie du volume d'un disque circulaire très-mince tournant autour, d'un diamètre AB (fig. loi). Soient son rayon OA =; /9, son épaisseur =: b. Pour l'anneau élédden taire dont le rayon OM. est Ç et la largeur d| , la quantité ^ur^ serait , d'après le numéro précédent, ; \
donc pour le disque on a
a86 MOMENTS
Or
2M = 7rp'ft-, donc R*=jjO*.
Autrement. Prenons pour axe des y la droite ÂB relativement à laquelle on cherche le moment d*inerne du disque, et traçons dans «on plan l'axe Ox rectangulaire sur AB,
Appelant x, et y les coordonnées d'un élément 4u dis* que, la quantité Sur* prise autour d'un diamètre quelconque sera exprimée à volonté soif par Sur*, soit par 2(/y'*
On, a donc
•I = Smx* et Is=2iijr*;
d'où , en ajoutant et appelant \ la distance d'un élément quelconque au centre O , on tire
I = i2ii(x«H-y). ou. I = i2aJ«.
Maintenant, pour un anneau élémentaire dont le rayon OM est ^ et la largeur dÇ, laquantitéZi/^' serait |*. 2 Tt&d^. Donc pour le disque entier on a
I = 7r& r$»d5==i7ripS
comme ci -dessus.
360. Moment d'inertée du Dôktme d'un cjrimdre droit à hase circidmire autour de Taxe de figure. Smeat son rayon = p, sa longaeuT =r:«2.
Pour le vohiraie éiémeâftatTe cotais ^ilre deux surfaces cylindriques dont les rayons sont ^ et ^ +d( la quanlité Swr* serait
donc pour le cylindre entier on a
d'ineutie. 287
D'ailleurs
Su = 7rp'/; donc- ./}' = - p*.
La même formule finale existe pour un secteur tournant dans son plan autour de son «entre.
370, Moment d^inertie du volume d^ une jante à section rectangulaire par rapport à l'axe de Ggure. D'après le numéro précédent, on a, en considérant le corps comme la diflérence de deux cylindres dont les rayons sont p et p',
On peut, au lieu des rayons p et p', introduire le rayon moyen p^ =r C — ^ et la largeur 6 = p — p'.
On a
4p; = p* + p"H- 2 pp', 5*= p«4- p'« opp':,
d*où , en ajoutant ,
donc
371 . Moment d^ inertie d'un cône droit et base circulaire par rapport à l'axe de figure. Rayon de la bàfe = p, hauteurs/. /
Pour un disque élémeritaire on aurait (369)
Xwr* = - TUj^* djc ;
288 momeuts
donc, pour le cône entier, en mettant pourj^ sa valeur £j-»
Iz='-i: ly*dx = -7r-^ 1 x*djr = — ito^l, - D^ ailleurs le volume
donc
372. Moment d'inertie du volume d^un segment sphéfique autour du diamètre perpendiculaire à la base. RayQn de cette base :?= p , flèche = a.
Pour Une tranche élémentaire on aurait (369)
SMr* = -7ry*da:.
Or
Donc pour le segoient sphérique on a
, /•« /=-7r I (4p'x' — 4px'H-x*)dx
= i„0p«a.pa» + ^a.j
Quant au volume, il est
d'où
U lo 3p-^«
d'ineutic. aSy
Poar une demi-sphère , on a
La même formule finale s! applique à la sphère entière, et on Fobtient directement par un moyen analogue à celui de la fin des n^« 367 et 368.
La sphère étant rapportée à trois axes rei&làiigulaires menés par le centre .et autour de chacun desquels le moment d'inertie de la sphère entière a 1» mêm^ valeur, on a
^ - /=2ii(ar'-hj-*),
/ = 2ii(2«-f-x'),
d'où, en appelant | la. distance d'un élément de volume u au centre dç la sphère , on conclut
Pour une couche sphérique dont le rayon est | et Tépaîsseur dç la quantité 2a|* serait $*.4^$*dÇ. Dope pour la sphère entière on a'
2«r = 4':jf'r<i| = |"p';
donc
Où a aussi
donc
^u=^tp\
