Moinc7it d'inertie d'une Calotfe spliérique très
agO MOMENTS
mince autour du dianièli e perpendiculaire à la base. Mêmes données^ épaisseur = 6.
Pour une zone élëmentaîre on aurait
itipb [ipx — x*)Ax\
doiic pour la calotte on a
/= aTrpft I [:i-px — x^)àx=^ inpb ia^ p — ~ V D'ailleurs le volume
U =■ 2 npa.b ^ donc
Pour rhêniisphère on a
La même formule a lieu pour une couche sphérîque entière.
374. Moment d^ inertie d^un corps géométrique quelconque, SoitO(^g^. 102) la projection de l'axe de rotation : soient Ox, Oy, des axes coordonnés rectangulaires; 14 le volume élémentaire dont la position a pour'ordonnées x^y» On a
Donc pour le corps entier
chacune de ces. deux dernières sommes -se calcule séparément.
Sçit le solide divisé en tranches comprises entre des
D INERTIE. lyi
plans infiniment voisins perpendiculaires à Taxe des x. L'aire variable ou conslante de la section faite par un de ces plans étant désignée par ji ^ et l'épaisseur de la tranche correspondante étant dx, son volume est^dx; et comme tous ses éléments ont la même abscisse x, la quantité jiàx ,oc^ sera la valeur de Smx* pour toute la tranche. On a donc pour le corps entier
intégrale dont le calcul exact ou approximatif dépendra de l'expressioli ^.
De même, en représentant par. B Taire d'une quelcçnquc des sections faites par les plans perpendiculaires à Taxe des y, on aura
donc
2"J*=J 5jMj;
/= I Ax*dx-}- / Bj*dj et R' = '^— ^ — ^^-^^ — ^.
375. Moment fV inertie /Vim parallélipipède reclanglcj dont les trois arêtes contiguës sont a, i, c autour de Tune de ces arêtes, c.
^x'dx=fec. Y^ /?/' dj = ac. ^^
doiK
[=ialM:(a'^b^).
l^e plus le volume
Yiti =± abc,
2g2 MOMEIITS
doue
376. Si Taxe de rotation parallèle au côté c passe par le milieu d'une face ajant b et c pour côtés, le rayon de gyralion e$l le même qu*il serait pour chaque moitié du corps coupé par un plan passant par cet axe. Donc il faut remplacer b par - b dans la formule finale précédente, et Ton a
377. Si Taxe parallèle au côté c passe par le centre de figure, on voit par un raisonnement analogue qu*il faut
remplacer a et b par -a et - 6 dans la formule du n^ 375 ^
on a
378. Moment dUnettie d^un ellipsoïde autour d*un de . ses trois diamètres principaux. Les demi-diamétres dirigés
suivant Ox, Oy etOz ont pour longueurs a, £, c. Le mo* ment dHnertie est pris autour de Oz.
La section par un plan perpendiculaire aux x est une ellipse dont les demi -diamètres étant y et z sont des fonction de r, savoir
j=:-^a* — X* et z = -V'a' — ar*.
L'aire j4 du quart de cette ellipse, projeté en MP, est y TtjZj on a donc
o'iMERTIE. 2y3
Donc, pour un huitième de rellipsoïde, on a
2mx*= I j4x^dx = -r—: I fa'xM.r — x''dx)=7^' a^bc. Jo 4«*Jo ' 3o
De même, pour cette portion de volume, on a, en remplaçant a par b et réciproquement ,
doiic
Le volume 2 M du huitième de rellipsoïde s'obtient en intégrant l AAx. Ainsi
4 «Vo . 4 «^ \ 3/6 '
d'où l'on conclut
S'il s'agît d'un ellipsoïde de révolution, et qu'on ail a = ft, il en résulte
eomme pour la sphère (372).
379. Moment d'inertie d'un cylindre à base parabolique OVM. (Jig. io3) par rapport à un axe projeté en P, point du diamètre principal. Soient OP ^ JT, PM = Fy et l'équation de la parabole j* === 2px, La distance r d'un
élément de volume à Taxe P étant ici y/{X — x)' + j% on
294 MOMEWTS
aura, en raisonnanl d- ailleurs comme au n^ 374, ou
En supposant la hauteur du cylindre égale à i , ce qui ne change rien au rayon de gyration , on a
^ =zj = ^ipx^ B = X — X = X — - — ;
JiT» X /* JL
[ A {X ~ xydx = sjip j X* (X* — aXx -h x')dx
donc.
I = 2Mr'= -^xr (-X»-f- r«y
On a d'ailleurs pour le volume projeté en OMP
J^u= I AAx = ^'^p '\
dx^^>/ip.x' = ^xr.
On conclut
lu 5 \7
