TRIGONOMÉTRIQUES
oppose ayant des coordonnées de même graudeiir et de signes contraires satisfera également. Ainsi, selon que tang a sera positive ou n^ative, les droites OM', OIVF', ou les droites OM'''^, OM*^, satisferont à cette donnée. En général la même tangente appartient à deux droites dirigées en sens contraires.
38. Il résulte de ces considérations, et des définitions du n® 32, que, si deux droites différentes font avec Ox des angles ayant le même sinus, leurs cosinus sont numériquement ^aux et de signes contraires, et il en est de même des tangentes. En général, à une même valeur de Tune des lignes trigonométriques sinus, cosinus, tangente, répondent, pour chacune des deux autres , deux valeurs numériquement égales et de signes contraires.
39. Cette propriété peut être démontrée algébriquement d'après les équations générales
sin« = -> cosa=;=-î tanga ==:•-? j* H- a:'^=: r*,
qui donnent
sm' a -f- cos' a == i , tansa ==
° COSa
Si sina est connu, on obtient
cos
a = dzVi — sin* a, taug a =
sma
±^i — sin^pp
les deux signes supérieurs ou les deux inférieurs devant être pris simultanément..
Si cos a est connu, on a de même
. y =— dbj^i — COS'a
sin a = zt VI — cos a, tança = — •
^ cos a
Enfin, ai tang a est connue, on a, en éliminant d'abord
24 DIRECTIOIV
cos' a (tang* a -H i) = i , .d'où
tangâc
cosa=: • — * sina^
±: ^1 -4- lang'a ±: v'i 4- lang' <ît
Ces formules ont lieu quel que soit Tangle a, positif ou négatif. On les retrouve rapidement au moyen des deux triangles semblables OM'P, ON' A de la fig. 6, en faisant
OA= OM'==i:i, M'P=sina, OP = cosa, AN' = Ung«,
ON' = séca = \/i-i-tang'a.
Une des quatre dernières lignes suffit pour déterminer cha* cune des trois autres *, et quand Fexpression pbtenue comporte un radical, on lui donne pour la généraliser le double signe zi:.
40. On conclut aisément de ce qui précède qu'en général^ étant donnés le signe et la grandeur d'une des trois lignes trigonométriques principales d'un angle ùOx, et le signe seulement de Tune des deux autres, la direction Ou, dans le plan xOy, est complètement déterminée.
4°. Direction d'une droite hors des plans coordonnés.
41. Considérons maintenant le cas où la droite Ou, dont il s'agit de définir la direction , n'est dans aucun de& plans coordonnés, et supposons, pour plus de simplicité", que ces plans soient perpendiculaires les uns aux autres
Prenons encore sur la partie positive de la droite Ou, un point M, à une distance r de Torigine O, et appelons x^y^ z^ les coordonnées de ce point ^ il est évident que la direction Ou sera connuie si l'on connaît les rapports
d'une droite dans JLESPACE. 25
- 9 - > - (rapports algébriques, c'est-à-dire positifs ou né-
galifs, chacun étant de même signe que son antécédent) : car^ en prenant r à volonté, on en conclura les valeurs des trois coordonnées, c'est-à-dire leurs longueurs et leurs sens> ce qui déterminera la situation du point M (13).
La droite MP qui joint l'extrémité de r à rextrémîtéde l'abscisse jî, est perpendiculaire à Ox. II s'ensuit que x serait également l'abscisse rectangulaire du point M dans le pJan xOu.
On a donc {32)
^=cos(u,x)5.
et de même
•^=cos(u, y), -=cos(u, z).
Ainsi la direction de la droite Ou est déterminée par les cosinus des trois angles <ifu* elle Jait avec les trois axes coordonnés.
42. Ces trois cosinus ne peuvent pas être pris arbitrairement. En effet, on a entre les coordonnées rectangulaires x, y^ z^ du point M, la relation (19)
ou
qui, lorsqu'on y substitue les valeurs du numéro précédent, devient
cos* (m, x) -h cos* (il, y) -I- cos' (ll, ^) =;: I . '
Celte équation exprime un théorème qu'il importe de retenir. >
