EXPRESSION
Il en résulte, celte conséquence que, lorsque To-n se donne les cosinus des angles qu'une droite Ou fait avec ' deux des axes coordonnés rectangulaires, il ne reste d'indéterminé que le signe du cosinus de son angle avec le troisième axe.
43. Uemarqtie. Donner le cosinus de Fangle qu'une* droite fait. avec un axe, c'est faire connaître une nappe de surfaœ conique de révolution sur laquelle se trouve, cette droite. Si Ton donne deux cosinus relatifs à deux axes différents, la droite est l'une des deux génératiôce^ d'irilcrsection de deux nappes coniques déterminées; il suffît, pour compléter la détermination de la droite, de savoir si l'angle qu'elle fait avec le troisième axe est aigu ou obtus, et c'est ce qu'apprend le signe de son cositius.
§ III. EXPRESSION TRIGONOMÉTAIQUE DE LA PROJECTION ORTHOGO- NALE d'une DROITE OU d'UN CONTOUR POLYGONAL SUR UN AXE,
44. Soient deux axes coordonnés rectangulaires Ox, Oy (fig^ 8) et soient, dans le même plan, deux points M', M'', dont, les coordonnées sont x', y' ^ x'\ y" , Les projections x'' — jc', y^' — y\ de la droite M' M''-, peuvent être exprimées en fonctions de la longueur M' M'', et de l'angle que cette droite, prise dans le sens M'IVF, fait avec Ox.
En effet, si l'on mène M'X et M'Y, parallèles à Ox et à Oy, et de même sens, les coordonnées Jf, T, du point M, par rapport à ces nouveaux axes rectangulaires, seront des mêmes grandeurs et des mêmes signes que les projections x" — 3o'^y" — j', et l'angle de M'M'' avec M'X sera de même grandeur et de même , signe qu'avec Ox. Or, par ks définitions du n^ 32, on a,*en faisant M'M'' = «,
X= w. cos.(u, X), 1^= Msin ,(u, X).
Donc, si l'on représente par (u, x) l'angle que la droite
TRIGQJiOMÉTRlQtJE DES PROJECTIONS. 27
M'M" fait avec l'axe des x, on a pour les projections orthogonales de M 'M''
oé' — x'=^MCos(u, x), y" — j^ = « sin (u, x).
On remarquera que, dans ces formules, les lettres x!\ od ^ y^, y', des premiers membres, représentent des longueurs affectées de signes : la lettre u, hors de la parenthèse, est une longueur seulement ; les lettres u et x, dans la parenthèse, désignent la droite M' M'' et Taxe de projection, considérés quant à leurs directions.
x" — j/= u cos (u, x)
est également vraie pour la projection orthogonale d'une droite sur un axe Ox qui ne serait pas dans un même plan avec la droite, pourvu que par \ angle des deux droites quelconques dans Vespièce cm. entende V angle quon ob^ tient en faisant partir d'un point quelconque deux côtés parallèles à ces droites y et de même sens quelles.
En effet, la projection orthogonale FF' (^^. 9) de la droite M'IVF sur Taxe Ox s obtient en menant par M' et M'' deux plans M' CF, M''C'F, perpendiculaires à Ox, et le rencontrant en F et F'. Si, par M', on mène M'X parallèle à Ox, et de même sens, la projection M'N ou JT, de M'M^, sur ce nouvel axe, sera de même longueur et de mêmfi signe que FP''^, puisque ce sont deux parallèles de même sens comprises entre deux plans parallèles. Or, la ligne projetante M'^N étant peipendiculaire à IVf N, on a, comme au numéro précédent,
M'NouX=«cos (u, X),
donc
x!' — j/=^u cos (u, x);
c'est-à-*dire ojixe la projection orthogonale d'une droite sur
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un axe queleoncfue est égale (même grandeur et même signe) au produit de la longueur de cette droite par le cosinus de l'angle qu! elle fait aPec F axe.
46. De cette proposition, et de celle du nP 22, on tire la conséquence suivante, dont nous ferons un fréquent usage' :
Théorème. 5/ £//z èhemin polygonal M'M'^M'''^... M conduit du point M' au point M, la somme algébrique des produits des chemins rectilignes partiels M!M\ IVFIVI'",..., multipliés chacun par le tosinus dé F angle qu^ il forme a\^c un axe quelconque, est égale à la projection ortho" gonale du chemin direct M' M sur le même axe,
La formule qui renferme ce théorème est
X — x' = u! cos (u', x) -H II!' cos (u'', x) -h ul" cos (u''', x). ..
et s'exprime en abrégé par
X — 0:' = Siicos (u, x),
en remplaçant par la notation S le mot somme appliqué à une suite de termes semblables, et en désignant par u la longueur de chacun des côtés du contour , dont Tangle (u, x) avec Taxe doit être pris en ayant égard au sens dans lequel ce côté est décrit.
47. La formule du n^ 45, étant appliquée aux projections d'une droite u sur trois axes coordonnés rectangulaires, donne
x" x" = MCOS (u, x),
y'/y =^=«cos (U, y), z" — z' =iu cos (u, z).
En y joignant l'équation du n° 24 .
{cd'—odY -h (y"—yy + [z"^zy=^u\
on voit qu'il suffit de connaître les longueurs et les signes
TRIGONOMÉTRIQtJE DES PROJECTIONS. 29
des trois projections od* -^ x! ^ j" -^y' , z" — z'^ pour en conclure la longueur u, puis les grandeurs des trois cosinus, qui ont d'ailleurs les mêmes signes que les projections.
