Problème. Connaissant les coordonnées x, y, z

fTun point M relativement à trois axes coordonnés quel-

conques Gx^ O y , Oz, trous>er T abscisse orthogonale X du

même point, comptée à partir de la même origine O, sur

un axe OlL^Jaisant^ avec les trois axes coordonnés, des

angles connus.

L'abscisse x et deux parallèles aux coordonnées y, z, forment un chemin polygonal conduisant de l'origine O au point M (l^*), et la somme algébrique de leurs projections orthogonales sur OX est égale à Jf, projection de OM sur le même axe (22). D'après cela, supposant les coordonnées 07, r, -z, positives, on a (46)

X=i:cos (x, X)-f-J cos (y, X) -h -s? cos (z, X),

les parenthèses indiquant les angles du nouvel axe OX, pris dans son sens positif, avçc les trois coordonnées, ou, ce qui est la même chose, avec les trois axes coordonnés, pris dans leur sensposilif . Maintenant, si l'une des coordonnées, x par exemple, était négative, il est clair que sa projection devrait avoir un signe contraire à celui qu'elle aurait eu dans la première hypothèse ; or il suffit, pour cela, dans le produit X cos (x, X), de donner à la valeur particulière de x^ premier facteur de ce produit, le signe qui lui appartient d'après son sens, et d'entendre toujours par la notation (x, X) l'angle des axes Ox, OX, donné d'après l'énoncé de la question.

49. Problème. Connaissant les angles que deux droites quelconques ou leurs parallèles de même sens OX, OY, font avec trois axes rectangulaires Ox, Oy, Oz, trouver le cosinus de l'angle (X, Y) des deux droites entre elles, v

3o FORMyi.ES

Sur la partie positive de la droite OY prenoDs une longaeur OM désignée par IT] sa projection orthogonale, ou Tabscisse du point M sur la droite OX, sera

X= Fcos (X, Y),

et les coordonnées x^y^ z^ du même point M^ seront

a: = jrcos(Y, x), j^= JPcos (Y, y), ^ = Ycos (Y, z).

La substitution de ces expressions dans Péquation du numéro précédent donne, le facteur Y étant supprimé,

cos (X, Y) == cos.(X, x) cos (Y, x) + cos (X, y) cos (Y, y)

cos(X, z) cos(Y, z).