IV. PORHULES DE TRIGONOMÉTRIE PLANE

51. Théorème. Deux angles a^ — a^de même grandeur et de signes contraires^ ont le même cosinus^ et des sinus de jnême grandeur, mais de signes contraires.

En effet, si x et y sont les coordonnées de Textrémité M de Tare de rayon r qui mesure Tangle «, et si x' et y' sont les coordonnées de l'extrémité M' de l'arc de même rayon qui mesure l'angle — a, il est aisé de voir que, les deux points M, M' étant symétriquement placés par rapport à l'axe des X, on a

x=zoc! et y :=: — y'^ . .

DE TRIGOUQMÉrrKIE PLANE. 3l.

ve qui, d'après les formules

x= rcosa^ y=.rsina^

a/=rcos( — a), . j^=:/'sih( — a),

conduit évidemment à la douUe proposition énoncée, savoir :

sin ( — «) = — sina, cos (- — a)==:cos«.

52. Corollaire. Des équations j: = x' et j^=—^j^', on tire, d'après les définitions du n^ 32,

tang( — a) = — tanga, coi( — «) = — cota, séc ( — a) =: séc a, coséc ( — a) = — coséca.

53. Théorème. Si la somme algébrique de deux angles vaut un angle droit positif y ou, en d^autres termes, si deux angles sont algébriquement compléments l'un de Vautre^ le sinus de l'un de ces angles est égal au cosinus de Fautre,

C'est ce qu'exprime Tune ou l'autre des équations

sina =r cos (go® — a) et cosa = sîn(9o® — a),

a étant uu angle quelconque, positif ou négatif, d'une valeur absolue plus petite ou plus grande que 90®, mais l'un des angles a et 90® — a étant nécessairement positif.

Démonstration, i^. Si les deux angles sont positifs, et qu'on ait «-+-«'= 90**, chacun d'eux est plus petit qu'un angle droit. Il faut démontrer qu'on a

sina = cosa', cosa=:sina'.

Soit a [fig. 6) l'angle M'Ox ; a' est donc égs^l à M'Oy. On a, par les définitions du n° 32,

jrrrrsina, a: = rcosa.

Mais X peut être considérée comme ordonnée M'Q, et y

comme abscisse OQ, du point M'; et, puisque la droite O'M fait, avec Taxe des abscisses, dans ce cas, Tangle a', on a

j: = rsina', j^ = rcosa'.

On tire de ces quatre équations les relations énon* cées.

2^. Si l'un des angles est négatif, et qu'on ait a' — af'=Qo^, en désignant par a' et a^' des valeurs absolues, il faut démontrer qu^on a

« sîna' = cos( — a'') et cosa' =^ sin ( — a"),

ou, ce qui revient au même (51 ),

sin a ' = cos a" et cos a ' = — sin a"

pour des angles absolus a', û/', dont la différence af — a" est de 90°, c'est-à-dire que, si la différence de deux angles vaut un angle droite le sinus du plus grand est égal au cosinus du plus petite et le cosinus du premier a la même valeur numénque que le sinus du second^ mais un signe contraire.

Pour le démontrer, soit (fig- 10) M''Ox = a", le plus petit des deux angles, et M'Ox =a', qui excède cl" d'un angle droit. Quels que soient d'ailleurs ces deux angles, les deux points M'', M', sont aux deux extrémités d'un. arc de 90°, sur une circonférence ayant l'origine des coordonnées pour centre 5 d'où il est facile de conclure, en examinant tous les cas possibles, que l'ordonnée d'un quelconque de ces points a la même grandeur absolue que l'abscisse de l'autre; m^is que l'abscisse du point M^, le plus avancé des deux sur la circonférence, est de signe contraire à l'ordonnée de l'autre point M", tandis que l'ordonnée de M' a le même signe que l'abscisse de IVF. Ainsi

y' =z x". et x' = — j".

DE TtllGOnOMÉTRIE FLANE. 33

Or, en substituant dans ces équations. les valeurs générales

y'=:rsina', a/=rcosa', x'' = rcosa", y^=rsina",

on arrive aux relations qu'il fallait démontrer :

sîna' = cosdt" et cOsa' = — sina^.

54. Corollaire I. Si la somme algébrique de deux an-- . gles vaut un angle droit positifs le produit de leurs tan-génies est égal à l'unité^ ou, ce qui revient au même, la tangente de Vun est égale à la cotangente de Vautre^

En effet, a et a' satisfaisant à Féquation

les relations

sin.a = cos a', cosa = sina',

sina , sina' tanga = 1 tang<x' = ,t

conduisent à

tangât tanga^ ^= 1 9 ou tanga = cota^

Corollaire n. Si la différence de deux angles vaut un angle droit positifs le produit de leurs tangentes est égal à—i.

En effet, de a — «'=90^ on conclut

sina = cos«', cosa = — sina', d'où, en divisant,

tanga = — — -^, ou. tangatanga' = — i.

55. Problème. Trouver les expressions de sin \a àz h) et de cos {a^b) enjbnctions de sina, cosa, sini etcosi.

Soient deux axes rectangulaires Ox et Oy, dont le second fait avec le premier un angle drpit positif, et soient

dans le même plan deux droites O A et OB, qui fout avec Ox deux angles quelconques, positifs ou négatifs. Posons X 0A= a et xOB=:&, et appliquons la formule générale du n^ 49, dont le dernier terme disparait, parce que Taxe Oz est perpendiculaire aux droites OA et OB. L'angle de OA avec OB étant, dans tous les cas possibles (31), exprimé par la différence a— &, nous avons (49)

cos (a — b) = cosa cosft + cosAOy cosBOy.

Or il est aisé de voir, en faisant au besoin une figure où Ton donne soit à OA, soit à OB des directions qui embrassent tous les cas possibles, qu'on a toujours

A0y=d=(90*' — a) et BOy=±:(9o°— i),

et par conséquent (51 et 53)

cosAOy=:sina et cosBOy = cosi.

L'équation ci-dessjis devient donc

cos [à — ft) == cosa cos b -h sina sin b^

' et répond à Tune des parties de la question proposée.

En remplaçant dans cette formule b par — &, on a avec la même généralité

cos (a-4-i) = cosrt cosi — sina sini.

Pour obtenir sin (a-f^i), il suffit de remarquer (53) que celte quantité est la même que cos (90° — a — 5), et d'appliquer la formule de cos (a — b) en remplaçant a par 90^—- a, et conséquemment cosa par sina, et vice versa. On obtient ainsi la formule générale

sin (a -f- 6 )= sin a cos i -f- cosa sin i, et, en y remplaçant b par — 5,

sin (a — i) = 3Înacosi — cosa sin &.