CALCUL DES LIGNES
d'où .
tança = 2
lang 2 a
^ I — 3ianff'«
59. En combinant par addition et soustraction les expressions trpuvées au n^ 55 , on a
sin(a-f-5) -f- sln(a — b) = asinacos^, sin(a -4- t) — sin(a — b) = Sàcosasini, cos(a-h i) -|-cos(a — i) = acosacosi, cos(a -t- i) — cos(a — b) = — 2sinâ sîni.
Faisons
a'+-b=p et a — b=:q^ d'où
a==P±l et 6=£z:i;
nous obtenons
. p-hq p — q
sinp 4- sîn q = n sin ^- ^ cos
sm» — sin«7 = 2 cos *- ■ sin *- ^ ,
cos» 4- COSÛf = 2 cos i- A cos ^ >
cos^^— cos^ = 2 sin ^ sin ^ ~ »
formules qui servent à transformer une somme ou une différence en un produit (79 et 80).
Des deux premières on tire
p-hq
sinp -h sin g 2
relation qui sert dans la résolution des triangles (67).
TRIGOtrOMÉTRIQUES. 87
60. Noos avons dit (36) que l'on possède des tables qui font connaître, au degré d'approximation désirable, les rapports appelés communément lignes trigonométriques d'un angle aigu quelconque. Ces tables ont été calculées par des méthodes ingénieuses et savantes qu^on. peut étudier dans les ouvrages spéciaux sur cette matière. Il nous suffit de faire comprendre ici la possibilité d'arriver aux mêmes résultats à l'aide des formules qui viennent d^ètre démontrées.
Nous remarquerons d'abord que, lorsqu'un angle est très-petit, l'arc qui, ayant pour rayon l'unité, lui sert de mesure , est sensiblement égal à son sinus ^ ce qui signifie que, si Von fait décroître indéfiniment Vangle^ le rapport de Varc au sinus approche autant quon veut de V unité.
En effet, si l'on suppose dans latfig, 6 le rayon 0A= i et l'angle AOM'= a, l'ordonnée M'P et la tangente AN' auront précisément pour expressions celles de sina et de langa (32) 5 et si l'on compare l'arc AM' à l'ordonnée M'P, et l'aire du secteur OAM' à celle du triangle OAN', on établira les inégalités suivantes :
i\ M'P < corde AM'< arc AM',
d'où
sina <^ arc a;
arc a .
sin a ^
2^ secteurOAM'< triangle O AN',
-OA X arca<-OA X tanga,
2 jL
d'où (39)
^ sin a arc a <r i
^COSôe
38 CALCUL DES LJGJNES
donc
arca I
sin a ^ cos a
Ainsi le rapport -: — est toujours compris entre i et
• Or, à mesure qu^on fait diminuer a, le nombre >
cos a ^ cos a
quoique toujours supérieur à l'unité^ en approche autant
arc OL qu'on veut. Donc il en est de même du rapport —, — > et ^ ^^ sma
c'est ce qu'on exprime en disant que ce rapport, quand
Tangle a décroît, a pour limite l'unité.
On prouverait avec la même facilité que le rapport
— —9 quand l'angle a devient de plus en plus petit, a aussi
pour limite l'unité : proposition qui nous servira dans la suite de ces leçons.
Nous allons maintenant démontrer que la différence entre Varc et le sinus lïun même angle est moindre que le quart du cube de Varc*
En effet , on a (56)
sina = 2 sin - cos —
Multipliant cette équation par l'inégalité précédemment démontrée
. a ^ arc a a
sin - j> cos - j
et supprimant le facteur commun sin - a , on a
sina "> arca cQs'' - a,
sin a ]> arca ( i — sin* - j \
THIGONOMÉTKIQUES. ^Q
d^OÙ
arca — sin a <^ arcec sin'
Multipliant cette inégalité par Tinégalité de même espèce
• t * ^ (arca)'
et sapprimant le facteur commun sin* -» on obtient T inégal! té énoncée
^(arca)* arca — sinà<^-^ — y — •
Appli(juons cette propriété à l'angle de lo", qui est le plus petit angle des Tables usuelles de Gallet.
On sait que le rapport de l'arc i8o° ou de 648000'' au rayon est 3,1415926. .. .
Nous aurons donc
arciû^= * ^^ ' — = 0,0000484813 681. . ., 64000
et, par suite,
j (arc 10'')' = 0,00000 00000 ooo32 . . . ^
d'où il résulte que la diflérence entre Tare de lo'^ et son, sinus ne sera sensible qu^à partir de la treizième décimale «
Ainsi avec une erreur moindre qu'une unité décimi du treizième ordre , on peut écrire '
sinio"=: 0,00004 848i3 681.
En mettant cette valeur dans la formule
cos 10''= V 1 — sin" I o",
on trouve avec le même degré d'exactitude
cos 10'' = O599999S9988 248.
4o RÉSOLUTION
61 . Au moyen de ces deux nombres et des formules du n° S6, on pourrait obtenir les valeurs des sinus et cosinos de tous les angles différant entre eux de lo^ depuis o jusqu'à 4S°9 ^^ 1^ résultats ainsi obtenus s'appliqueraient immédiatement à tous les angles depuis 45 jusqu'à 90°, attendu que le sinus et le cosinus d'un angle sont respectivement le cosinus et le sinus de l'angle con^plément du premier.
Quant aux autres lignes trigonométriques^ on les dé-
terminerait ensuite à l'aide de la formule tança = et
^ ces «
de la septième remarque du n^ 35.
§ V. RÉSOLUTION BBS TRIANGLES RBGTILIGNES.
1°. Triangles rectangles.
62. Quatre cas différents se présentent dans la résolution d'un triangle rectangle ABC , suivant que l'on donne
r^. L'hypoténuse et les angles^ 2**. L'hypoténuse et un côté d'angle droit , 3^. Un côté d'angle droit et les angles , 4^* Deux côtés d'angle droit.
En appliquant les définitions du n° 32, et en y remplaçant rpar l'hypoténuse du triangle, on vérifiera facilement le tableau suivant , dans lequel a représente l'hypoténuse, & et c les côtés opposés aux angles aigus 6, C. Quand l'un de ces angles est donné , l'autre s'en déduit.
DES TBIAHGLES RECTIUGKES.
