DONNÉES
b-=asiuBy c = acosB.
sinB ou cosC— -5 c — /(«-h^) (« — ^)>
à posteriori c — a cosB ou c 6 tangC.
^-cosB' ^-'^^«gB-
by c.
tangB= -;
^ cosB sinB
63. Les tables trigonométriques en usage donnent les logaritlimes des lignes ou rapports trigonométriques, au lieu de leurs valeurs numériques. Il en résulte T avantage de n'avoir à faire que des additions et des soustractions pour appliquer les formules ci-dessus. Nous expliquerons plus loin Tusage qu'on fait de ces tables.
%"*. Résolution des triangles obliquangles.
64. P*^ Cas. On donne les angles et un côté a , en désignant parmi les' angles connus r angle A opposé à ce côté.
Du sommet C abaissons (fig» 11) la perpendiculaire 4 sur le côté opposé c , et , soit que les angles A et 6 soient aigus , ou que Tun d'eux soit obtus , nous aurons
h = a sîn B , h=^h sin A ,
ou
asinB
sin A
I/équation générale t == — — jt démontre ce théorème :
4 2 AéSOLUTlOU
Dans un triangle rectiligne quelconque^ les sinus des angles sont proportionnels aux côtés opposés.
65. IP Cas. On donne deux côtés, a et i, et V angle A, opposé à l'un d^eux, a.
D'après le théorème précédent^ on a
. ^ bsinA sinD= »
puis
C = i8oo-(A + B) et c = ^^- ^ ' sinA '
Au J)lus petit des deux côtés a , A , est opposé le plus petit des deux angles A, B. Donc, si a>A, B est aigu, son sinus suffit pour le déterminer j il y a toujours une solution.
Si a<ô, l'angle A donné (fig. 12) est aigu; B peut être ^igu ou obtus pour le même sinus. Donc il y a deux solutions, pourvu qu'on trouve
. T> ^ ^sinA ^
sniB<^i ou <i,
ou a > i sîn A^ c'est-à-dire a^h.
Si l'on demandait immédiatement le côté c, il faudrait poser
c r=: AD dr DB = i cosA ± y^a» — A* sin'A.
66. III« Ca&. On donne deux côtés ^ «, i» et F cingle compris C.
i^. On demandé à priori le côté c.
Soient X et j- les coordonnées rectangulaires du point B {/ig. i3), CA étant pris pour axe des a: et C pour origine; X est négative si l'angle est obtus. Dans tous les cas on a
c*=:j*-f-(ft— x)% y* = a*— x% a:==acosC.* Les deux premières équations, ajoutées membre à mem-
. DES TAtANCLES RECTILIGNE5. 4^
bre, donneat la relation connue en géométrie élémentaire
c* = a* -h i* — a fcj: ; et, en y «substituant l'expression de x, on a
c* = a» -+- i* — 2 ai C03 C.
c étant ainsi déterminé, on rentre dans le premier cas (64).
2° On peut déterminer à priori l'angle A par sa tangente. Soit que G soit aigu ou obtus, et quelle que soit aussi la grandeur de A, on a
tanffA = T^ — =
asinC
b — X 6— acosG
La grandeur et le signe de tang A faisant connaitie A5 et par suite B, on rentre dans le premier cas (64)^ et Ton calcule c par Tune des deux formules suivantes :
asînC ÀsinC
sinA sinB
II. est bon de vérifier si les angles A, B, trouvés, satisfont à la condition (64)
sinA sinB
3^. Autre solution ^qa^ on présente ordinairement comme plus propre à l'emploi des logarithmes, quoiqu'elle n'exige pas moins de calculs que la précédente pour arriver aux inconnues A, B et c.
C fait connaître A -|- B ; on cherche A — B.
De la relation
sinA a
sin B b on conclut
sin A — sin B a — b
sinA -h sinB a-hb
44 RÉSOLUHION DES TRIANGLES BECTILIGNES.
Donc, d'après la dernière équation du n^ 59, on a
tangKA— B ) a—b tang|(A-+-B)"~ a-h&' d'où Ton rire
tang-(A — B).
Connaissant
-(A-f-B=w*° et i(A— B)==n», on aura
et on achèvera comme dans la deuxième méthode.
67, IV® Cas. On donne les trois côtés.
La formule démontrée au commencement du numéro précédent donne
a* == i* + c* — 2 ic cos A, soit que l'angle A soit aigu ou obtus. Donc
cosA= y •
2 bc
Pour obtenir une formule plus propre à l'emploi des logarithmes, on reconnaît à l'inspection de la première équation l'utilité de remplacer cosA par un binôme dont un terme soit égal à Tunité, savoir (56) :
COsA=I — 2 sin' — ou C08A=2C0S* 1.
Cette équation devient ainsi l'une des suivantes :
4Acsin«-=fl'— (i— c)'i=(a + i — c)(n-h6— A), 4 ic cos*— = (fc-hc)' — <ï* == (a4-6-hc) (ft-+-c— a).
FORMULES DE TRIGOJrOMÉÏRIE SPHÉRTQUE. 4^
fin posant, pour abréger, on obtient
et
doù
2 V oc
2 — y bc '
L'angle — étant nécessairement <[ go*', se trouve déterminé par l'une de ces trois formule&« Quand il diffère peu de 90^, il vaut mieux le déterminer par son cosinus que par son sinus. C^est le contraire quand il est petit. A étant trouvé, on calcule de même B^ puis C pour vérification.
