VI. TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE

69. Trois arcs de grands cercles, qui joignent trois points situés sur une même sphère, forment un triangle sphé^rique. Les trois côtés s^évaluent ordinairement en degrés ; les angles sont ceux que forment les tangentes aux côtés en leurs points d'intersection.

< Â tout triangle sphérique correspond un angle trièdre, dont les arêtes sont les droites menées du centre de la sphère aux trois sommets du triangle. Les angles plans ou faces du trièdre sont mesurés par les côtés du triangle sphérique^ et les angles dièdres des faces ont la même mesure et la même expression que les angles de ce triangle.

Les problèmes où au moyen de données suffisantes on se propose de calculer les côtés ou les angles inconnus d'un triangle sphérique, sont précisément les mêmes que ceux où il s'agit de calculer les faces ou les angles dièdres d'un angle trièdre. C'est ce dernier point de vue que nous adoptons pour rechercher les relations qui existent entre quatre des six quantités, côtés ou angles dVn triangle sphérique. Il n'y a que quatre combinaisons distinctes à étudier.

70. 1^. Formule fojvdamestale. Helatton entre les trois côtés et un angle. Pour trouver cette relation, supposons que, donnant deux faces t et c d'un trièdre et Tangle compris A, on demande la troisième face a opposée à A. Prenons pour plan de la fig, i4 celui de la face b représentée en POP'. Soient rabattues sur ce même plan les faces c et a, savoir : la face c en POM et la face a en P'OM'. Pour reformer le trièdre, il suffirait de faire tourner la face c autour de Tarêle OP, et la face a autour de OP', jusqu'à ce que les deux côtés OM et OM' vinssent à coïncider et former ainsi la troisième arête dans l'espace. Cherchons sur la figure la projection d'un point de cette arête, et, pour cela, supposons que, dans le rabattement des faces latérales, ce point soit venu en M sur le côté rabattu de la face c, et en M' sur celui de la face a* Les deux distances OM et OM' sont égales. Les deux points M et M', en tournant, l'un autour de OP, l'autre autour de OP', ne sortent pas des plans projetés dans la figure suivant les droites MPN et M'P'N, respectivement perpendiculaires aux charnières. Donc les

DE TRI.GOlîpMÉTllIE SPHÉRIQUE. fy]

deux points M et M' se réunissent dans Tespace en un point, dont la projection est l'intersection N, et dont la distance à ce point est Tordonnée d'une circonférence ayant son centre «n Pet son rayon égal à PM. En rabattant cette circonférence autour de MN, et achevant le triangle rectangle PNMi , on obtient non-seulement la distance NMi , dont nous venons de parler, mais Tangle rectiligne MiPN qui mesure r angle dièdre des deux faces h et c, angle que nous désignons par A, comme opposé à la face a.

La construction que nous venons de rappeler, et qui est enseignée dans les traités de Géométrie descriptive, se tra«duit très-aisément en une formule de Trigonométrie. Menons PQ perpendiculaire à OP' et NR parallèle et égal à FQ. Posons OM = OM' = r. Nous avons, en remarquant que PN = PMi cosA, et PMi = PM = r sine,

r cos^i = OP' = OQ -h RN = OPcos&-hPNsini = rcosc cosi -H rsinc cosA sini.

Ai^si, en supprimant le facteur r, que nous aurions pu à ^r/on faire égal à i, nous obtenons la relation cherchée, qui s'applique évidemment à un quelconque des trois angles dièdres. On a donc, au moyen d'une permutation tour^ nantCj datis laquelle les lettres se remplacent dans Tordre

i cosa = cosb cosc + sini sine cosA,

(i) < cos b = cosc cosa + sine sin a cosB,

cose tr: cosa cosb + sina sinb cosC*

71. Q?, Relation entre deux côtés a, c et les angles opposés A, C. On peut conclure cette relation des équalions précédentes; mais on l'obtient immédiatement d'après layîg. 1 4, dans laquelle le triangle P'NM^, analogue à

PNM19 donnç l'angle dièdre C, opposé à la face c. On a

c'est-à-dire

r sînc sinÂ = r sina sinC.

Donc, en général,

sinA sinC sinB

sina sine sin6

72. 3°. Relation entre deux côtés b et c, V angle A qûHls comprennent^ et un autre angle C ou B. Soit à trouver une équation entre &, c, A et C. On Tobtiendrait en éliminant a entre deux des équations (i); mais plus simplement, d'après la fig, i4j en remarquant qu^avec les données i,.c, A, on pourrait construire OMP, PNMi, NP', ei par suite NP'Mj, on a

tangC = r^}- =

NF "" PQ — PN cosé

sincsinA

cos c sin b — sin c cos A cos ft

ou bien

cotC sînA = cote siui — cosi cotA.

On a de même, eu égard aux permutations possibles ;

cotB s cot A s (3) {cotCs

cotB s cot A s

nA = cotft sin c — cos c cos A, nB == cota sine — cosc cosB, nB = cote sin «a — cos a cosB^ nC = cotÂ sina — cos a côsC, nC = cota sin J — cosi cosC.

73 TfiiA.NGLBs otj thièdres supFXÉMENTÀiaEs. La proposition que nous allons exposer sert à obtenir une rela^ tion entre les trois faces et un des angles dièdres d'un an^

DE TRIGONOMÉTRIE S^HÉRIQVE. 49

gie trièdre. L'équation qui Texpriine peut, il est vrai^ se déduire des équations' (i) par Tel imination de deux faces; mais on y parvient d'une manière plus simple et plus facile à fixer dans la mémoire par la considération d*un trièdre auxiliaire.

Quel que soit le premier trièdre OABC (fig. i5), abaissons d'un point CX, pris dans son intérieur, une perpendiculaire sur chacune de ses faces, savoir : O'A' perpendiculaire sur la face BOC ou a, O'B' sur la face COA ou i, O'C sur la face AOB ou c.

Nous formons ainsi un second angle trièdre, dont le sommet est O', et dont les faces rencontrent celles du premier suivant les droites A'B, BC, C'A, AB', B'C, CA'. Il en résulte un hexaèdre, dont les sommets O et O' sont diagonalement opposés, et qui deviendrait un parallélipipède rectangle dans le cas particulier où le trièdre primitif aurait chacune de ses trois faces égale à un angle droit.

Par construction, les trois arêtes O'A', (V B', O'C du se-^ coud trièdre sont perpendiculaires aux faces a, i, c du premier. Il s'ensuit que, réciproquement, les trois arêtes OA, OB, OC du premier, sont perpendiculaires àùx faces <i', b\ c' du second ( nous désignons ainsi les faces respectivement opposées aux arêtes O'A', O'B', O'C). En effet, par exemple la face a' on B'O'C étant perpendiculaire au plan OAB'C (à cause de la perpendiculaire O'B') et au plan OAB'C (à cause de la perpendiculaire O'C), est par conséquent perpendiculaire à leur intersection OA.

De là celte conséquence importante : que les faces de chacifn des deux trièdres sont, quant à leur mesure, les suppléments des angles dièdres de rautre. car, par exemple, la face B'O'C ou a' étant perpendiculaire à TarêlcOA, l'angle dièdre COAB' ou A a pour mesure Taiiglc rectiligne CAB', lequel est supplément de l'angle B'O'C, puisque les angles O'C A, O' B' A sont droits.

5o FORMUleS DÉ TRIGONOMÉTRIE SPHÊRIQUE.

En généralisant cette remarque, on voit que si

a y b y c sont les faces du premier trièdre,

A, B, C les angles dièdres qui leur sont opposés,

a'\ b\ c' les faces du deuxième trièdre respectivement perpendiculaires aux arêtes des angles A, 6, C,

A', 6', Ù les angles dièdres opposés aux faces a\ b\ c'^ on a entre les mesures en degrés de ces angles les relations :

i8o« = A-t-a' = B-hi' = C-Hc' = A'-+-a =B'-h6 =C+c.

C'est en vertu de cette propriété que les deux angles triédres sont dits supplémeruaires Tun de l'autre.

U est clair qu'à deux trièdres ainsi constitués répondent deux triangles sphériques, dont les côtés et les angles omt les mêmes valeurs numériques, et par conséquent les mêmes relations que les douze quantités que nous venons d'écrire. Ces triangles sphériques sont dits supplémentaires l'un de r autre.

74. 4°* Relation entre les trois angles et un côté (Tan triangle sphérigiie. C'est celle qui existe entre les angles dièdres A, B, C d'un trièdre et la face opposée à l'un d'eux; et elle se rattache à celle qui a lieu entre les trois faces a', i', c' du trièdre supplémentaire et l'angle dièdre opposé à l'une d'elles.

Les formules (i) du n° 70, appliquées aux angles a\ b\ c\ A\ B' et C qu'on remplace ensuite par leurs valeurs iSo*'— A, i8o«>— B, i8o°— C, i8o°— a, i8o°— J, i8o°— 6^ deviennent, par changement de signes des deux membres :

cosA = — cosB cosC -h «inB sinC cosa, (4) {cosB = — cosCcosA 4- sinC sinA cosfc,

cosC = — ^ cos A cosB -f- sinA sinB losc.

RÉSOLUTION DÉS TRUSGLES SPHÉAiQUES. 5l

Résolution des triangles sphériques.

75. Les six cas différents deviennent ai^alogues deux à deux par la considération du triangle supplémentaire.

P' Cas. Sont donnés les trois côtés. Les équations (i) déterminent les cosinus des angles.

n^ Cas. Sont donnés les trois angles. Les trois équations (4) 'font connaître les cosinus des c6tés.

ni® Cas. Sont donnés deux côtés et V angle compris. L'une des équations (i) détermine le cosinus du côté inconnu. Le reste du calcul rentre dans le V^ Cas.

On peut rendre l'équation (i) plus propre à Temploi des logarithmes au moyen d'un angle auxiliaire. On a successi"^ vemenl

cosa = cosi (cosc -H sine tangi cosA)

= cosi (cosc H- sine tang^)

ces h " * . .

de sorte que Tangle a est déterminé par les deux équations

très-simples

tangtp = tangi cqsA

coS^ / .

cosa = cos (c -^ (p).

COStp ^ •'

IV* Cas. Sont donnés deux angles et le côté compris. L'une des équations (4) fait connaître le cosinus de l'angle inconnu ; le reste rentre dans le II® Cas.

On peut faire subir à Téqua lion (4) une transformation analogue à celle qui vient d'êlre indiquée pour Téqua-^ lion (i).

V* Cas. Sont donnés deux côtés a^ b et l'angle A op*