INCONNUES
FOIIMULES A EMPLOYER.
COS/7 = COS^COSC,
rt, b.
sin6 sinasinB)
tang6 — tanga cosC.
sin6 sinasinB,
tangc— tang/icosB,
cos a cotB cote.
sin^ — sinasinB,
tang^ — sin étang B, .
cosB = sinCcos^.
tang^ — tangfl cosC ,
tangc — sin^tangC,
cosB COS 6 sinC.
cos a cos 6 cos c,^
bj c. <
tang^ âinctangB,
tangf — sin^ tangC.
cos<2 — cotBcotC,
cosB — sinCcos^j
cosC sinBcGst.
Transformations propres à l'emploi des logarithmes. Formules
de Ddambre et de Néper.
77. La formule foadamentale (t) peut servir, comme nous Tavons dit , pour calculer un angle d^un triaugle sphérique dont les trois côtés sont connus^ mais elle se transforme en une autre plus commode pour Femploi des loga.rithmes.
56 RÉsoLcnoir
L'inspection de réqnation (i)
cosa = COS&COSC + siii& sinccosA
conduit à remplacer cosA par on binôme dont nn terme soit Funîté. Or (56) on a
cosA = i — 2sin*— et co6A = 2cos'^^ 1*
et réqnation (i) devient par la snbstitation de ces denx expressions de cos A
cos(i — c) — cosa = 2»n&sincsîn* — 9
cosa — cos(ft-l-c) = asinfcsinircos' —
Ici une seconde transformation se présente naturellement, car on sait que la différence de deux cosinus se remj^ace par un produit. On a en effet (S9)
cos(& — c) — cosa = 2sin - (a-\-b — c) sin — {a + c — fc) ,
cosa — cos (i -hc) = 2sin — (a -|- i -h c) sin - (i + c — a).
D'après cela , et si Ton pose, pour abréger,
^p =a-hb-hc^ on obtient
Sin 6 Sin C
cos
A /sinp sin [p — a)
2 ~ V sin 6 sine
et y par suite.
A / sin (/y — b) sin (/y — c)
2 V sii
tanc — = i/ ""^^ ^ ^^ ^2 V sinpsin{p — a)
DES THIÀNGtES SPHÉKIQUES. D7
Il est évident que la formule (-4) doit se transformer d'une manière tout à fait analogue.
En posant
2P = A-f-B + C — i8o^ on trouve
2 y • sinBsii
sm - = iv , ->\ p — ^
sint
cos ^ = 4 /sin(B-P)sin(C-P) ^ 2 y sinBsinC
a / sinPsin(A — P) ïanga — y sin(B — P)sin(C —
78. Formules de Delambre, On a vu (66) qu'il est utile, dans la résolution des triangles rectilîgnes, de considéi;er la demi-somme et la demi - différence de deux
angles. Cherchons les quantités et dans un
triangle sphérique.
En substituant les expressions précédentes de sîn — et
de cos— > ainsi que leurs analos:ues sin - et cos— » dans la
formule de sin ( 1 U on a
sm = sin — cos — h cos — sm-
/sin^ [p — &) sin (/> — c] sinp
sin 6 sin' c sin a
sinp sin*(p — a) sin (/? — c] sin 6 sin' c sin a
sin(p — a) 4-sin|p — b] /s\np^m[p-^c]
sine V sin^sirTi
Or, en comparant ce dernier radical à l'expression précé-
58 RÊ601.L TIOX
denU* de cos — » on reconnaît F^alUé •
sinpsin p — r. L
-!-. ^f-5^ = cos — ;
sinasino n
eu second lieu, d après le n? 59, on a, pour transformer une somme de sinus en un produit, •
y \ - / »\ 2p — a — b a — h &in(p — a) -h s\n(p — 6) = asin -^ '■ tx>s
c a — b = 2 sin - cos ;
enûu , d'après le n^ 56 , on a
• c c sin c = a sin - cos —
On en conclut
c . A-hB C a — b
cos - sin = cos — cos
Oh trouve, en procédant d'une manière analogue,
c A + B . C a-f-A cos - cos = sin — cos >
. c . A — B c . a — b sin - sin = cos- sin »
. c A — B . C . a-hb siD - cos = sin - sin •
Ces quatre équations portent le nom de formules de De- Limhre. Elles donnent, comme le dit M. Le Verrier (Recherches astronomiques^ tome I, page 28) , la solution la plus él^ante de la question du in*^ Cas. Soient donnés les deux côtés a, et F angle C qu'ils comprennent, a Les seconds membres de ces formules ne renferment que les quantités données, tandis que les premiers membres ne renferment que les inconnues. Lorsqu'on aura calculé les
DES. TRIANGLES SPHÉRIQUES. 5g
seconds membres , les deux premières équations feront connaître l'angle par sa tangente et en outre cos -; les
deux dernières donneront Tanele et en outre sîn —
Connaissant ainsi sin- et cos -^9 on divisera Fun par Tau-
ire , en sorte que le demi-côté - sera lui-même détenxunë
par sa tangente » .
Si la question était celle du IV^ Cas, les quantités connues seraient dans les premiers membres et les inconnues dans les seconds : on procéderait d'une manière analogue.
79. analogies de Néper, En divisant la première for-^ mule de Delambre par la deuxième , et la troisième par la quatrième , puis la quatrième par la deuxième, et la troisième par la première , on trouve les ibrmules qui portent le nom S analogies de Néper. Les voici ;
. ^ cos .^
tane = r cot - ?
cos
tang = : — 7 cot - 1
sin —
, cos
tang -^=-^^-p5 tang ^,-
cos
sin
ta„g___ = ____tang..
Sin — —
6o V SAGE
Lorsque Ton connaît deux angles et les côtes opposés, ces formules donnent très-aisément le troisièlne angle et le troi- ' sîème côté.
. § VII. USAGE BBS TABLES BB LOGARITHMBS DE GALLET. — TYPES DE CALCULS TRIGONOMÊTEIQUES.
. 80. Les lecteurs connaissent les propriétés générales des logarithmes, ainsi que la disposition et l'usage de la partie des tables de Callet, qui contient les logarithmes des nombres jusqu'à 108000. Ils savent que, lorsqu'il s^agit d'obtenir le nombre qui répond à un logarithme, il convient que celui-ci soit sous la forme décimale, ayant sa partie . fractionnaire positive, sa partie entière étant positive ou négative, selon que le nombre est plus grand ou plus petit que I , La partie fractionnaire du logarithme ainsi écrit fait connaître, au moyen de la table, la série des chiffres significatifs (y compris Ies«éros intermédiaires) qui compose l'expression du nombre ; la partie entière, qui s'appelle caraotéristique, détermine dans le nombre la place de la virgule. La caractéristique s'écrit immédiatement avant la virgule du logarithme ; et, si elle est négative, çlle est surmontée du signe — .
Exemple : de logjc = 3 ,6149394
et de logj =r 3,6149394 on conclut
x = 4120» 4 cl j^ = o, 0041204.
Lorsqu'on doit multiplier un logarithme négatif, ou fait la multiplication à l'ordinaire, jusqu'à ce qu'on arrive à la virgule; on multiplie ensuite la caractéristique et l'on écrit le nombre négatif, somme algébrique du produit- négatif de cette multiplication et de la retenue positive donnée pat' la partie fractionnaire.
DES TABLES TRIGONOMÉTRIQUES. 6c
Exemple : 3, 6 149394 X a = 5,2298788.
Lorsqu'on doit diviser un logarithme négatif, si la caractéristique n'est pas un multiple du diviseur, on augmente sa valeur absolue du moindre nombre nécessaire pour qu'il soit divisible,' et l'on fait la division, en ayant soin d'ajouter le même nombre entier à la partie fractionnaire à diviser.
Exemple: -.5,22*98788 = 3, 61 49394-
81 . Les sinus et cosinus étant moindres que l'unité oni leurs logarithmes négatifs. Si les tables les donnent sous la forme positive, si, par exemple, pour log sîn 28® 3i' 10'' ou
a mis gf6j8Q34^^ au lieu de i ,67893429'c'est afin de diminuer autant qu'il est possible les interlignes dans ces tables imprimées. Mais, contrairement à l'opinion de plusieurs auteurs d'ouvrages destinés à l'enseignement, il convient d'écrire toujours les logarithmes des sinus et cosinus, comme ceux de tous les nombres moindres que Tunité, avec leur caractéristique négative; de sorte qu'au lieu des chiffres 9, 8, 7; 6 et 5, qu'on voit dans les tables, à gauche de la partie fractionnaire de ces logarithmes, il est mieux de lire et
d'écrire 1, 2, 3, 4 ^t 5 , c'est-à-dire de retrancher les dix unités qui sont de trop (*).
La même observation s'applique aux logarithmes tangentes des angles de o*^ à 45*^, et aux logarithmes cotangentes des angles de 43*^ à 90^.
Au contraire, les autres logarithmes tangentes et cotan^ gentes sont dans les tables avec leur valeur non altérée.
{*) L'emploi delà caractéristique seule- négative , recommandé dans la première édition de cet ouvrage (1842) et proposé longtemps auparavant {Cours de Mathématiques de Francœur, 1819) , est adopté a rObservatoire do Paris {Recherches astronomitfues de M. Le Verrier, i855).
62 tJSAGE
82. Usage des tables trigonomélriques. Dans les tables de logarithmes trigonométriques, chaqoe colonne a deux titres : Tun en haut, Tautre en bas,, disposition fondée sur ce que le sinus et la tangente d'un angle sont aussi le cosinus etlacotangente de Tangle complément. Les minutes et secondes qui se rapportent aux titres supérieurs sont' à gauche de la page, celles qui se rapportent auic titres inférieurs sont à droite.
L'inspection d'une table suffit pour vérifier que le logarithme d'une tangente est la différence des logarithmes du sinus et du cosinus du même angle, et que la somme des logarithmes de la tangente et ^e la cotangente d'un même angle est égale à zéro^ ce qui résulte des relations
sina I
tanga = et cota =
ces a tanga
Lorsque les angles contiennent des parties fractionnaires de seconde^ ces pai:ties s'écrivent en fractions décimales de la seconde. Les tables de Callet donnent immédiatement le logarithme cherché lorsque l'angle est composé de d^rés, minutes et dizaines de secondes.
Pour les autres cas, nous joignons ici un type de la disposition que nous conseillons de donner aux calculs par lesquels on trouve le logarithme demandé quand on connaît l'angle ou réciproquement.
83. Troui^er les logarithmes des quatre principales lignes trigonométriques de F angle A = 8° i3' 52^', 76.
logsinA[8''i3'52",76] = fl = 1456
