Une courbe peut être exprimée en coordonnées polaires

Exemples, i^. Dans ce système^ l'équation du çerde dont le rayon est r, en prenant l'origine au centre, serait u = r.

2^: Si, en même temps que la droite indéfinie O u tourne autour dû point O, on suppose que le point M se meuve de manière que les accroissements successifs du rayon vecteur u soient proportionnels à ceux de l'angle a, la courbe décrite est la spirale tTArchimède, et son équation est u = aa'{^ b^ en désignant par b la longueur du rayon vecteur qui correspond à a = 0, et par a l'accroissement de u pour chaque unité de a.

3°. Coordonnées focales.

96. La position d'un point dans un plan pourrait être définie par ses distances à deux points donnés dans ce plan.

FOCALES. 8l

Ce mode de détermination est quelquefois employé dans le lei^er des plans.

Si F et F^ sont deux points donnés à priori, et si u et u' sont les distances respectives d^un point M à F et F', ces deux quantités, étant déterminées, appartiendront à deui points rectangulairement symétriques par rapport à la droite FF'.

Une équation entre les distances /i, u', considérées comme variables, peut servir à exprimer une courbe rectangulairement symétrique par rapport à la droite FF'.

Exemples^ i^. Si la somme mh-i*' est constante, là courbe s'appelle une ellipse.^ dont les points F, F' sont les foyers^ Etant données la distance FF' =; ne et Téquation tt-+- tt' = 2a> il est aisé de construire la courbe par pointa (fig, 26)1 Ou peut même la concevoir décrite d'un inouvement continu à l'aîded'un fil dont la longueur serait na^ et dont les extrémités seraient attachées aux foyers F, F'; une pointe traçante qui glisserait le long du fil en le tenant toujours tendu décrirait la courbe.

2°. Si la différence u — u' ou u' — u est constante, la courbe s'appelle une hyperbole, dont F et F' sont les foyers. Étant données la distance FF' = ac et Téquation u — II' = db 2 a, ou (m — m')' = 4^? on construit facilement la courbe par points (fig- 27). Oe^ peut aussi en décrire d'un mouvement continu un arc d'une certaine étendue 2 une règle. tourne dans le plan de manière que l'un de ses points, toujours lé même (fig> 20), se confonde avec l'un des foyers F 5 un fil NMF' çst attaché, d'une part à un point N de la règle, d'autre part au second foyer F', (et la distance FN excède de 2 a la longueur de ce fil; une pointe M, qui glisse le long de la règle, en tendant lé fil, trace la courbe, car on a

FM — F'M == FN — F'MN = afl.

83 COORDONNIÊRS FOCALES.