FM = FML — ML = MN
99. u étant toujours. la distance de M au foyer F, si u' était sa distance au plan projeté en AB dans la figure, l'équation u:=^u' exprimerait une surface appelée parabo* loïde de révolution ( *) .
(*) La cycloîde dont il. sera question au n9 157 est un autre exemple d'une courbe exprimable par régalité de deux variables coordonnées.
ÉQlJATiO]NS DES LIGUES DROITES. 85
100. Le$ exemples précédents doBneut lieu à quelques remarques générales.
i^. Une équation à plusieurs variables peut renfermer toute la définition d'une courbe ou d'une surface, et fournir le moyen de la construire; mais il faut toujours pour cela qu'une convention établisse la signification géométrique des variables, signification ei^ vertu de laquelle des valeurs simultanées de ces variables déterminent un ou plusieurs points.
2°. Deux courbes égales, c'est-à-dire superposables, ont des équations différentes dans deux systèmes différents de coordonnées, par exemple quand on change Tangle des axes coordonnés.
3°. Une même équation désigne des courbes différentes si l'on change la signification géométrique des variables.
101. Le système des coordonnées parallèles à deux^axés dans un plan, oU à trois axes dans l'espace, est le pluô fréquemment employé. Dans ce systèmjB, l'équation de la droite et celle du plan sont du pretnier degré. Nous allons donner quelques détails sur son application à la droite et à quelques courbes, puis aux plans et aux surfaces dont les équations sont du second degré.
§ IL ht LA LIGNE DROlTJt.
102. Toute ligne droite située dans le plan de deux axes coordonnés faisant un angle quelconque est exprimée par une équation du premier degré^ qui appartient à tous ses points et n appartient à aucun autre.
Pour le démontrer, considérons d'abord des cas particuliers.
I®. Si la droite se confond a\>ec tun dés axes ou lui est parallèle^ P équation ne contient qu'une "vqriable.
En effet, l'équation x == o appartient excl'usivement h
84 ÉQUATIOIÏS
tous les points de Taxe desy^ et Féquation a:= c (coastanle) à ceux d'une parallèle à l'axe des j^.
2°. Sila droite passe par F origine ^ son équation est de la forme y = ajc, le coefficient a étant un nombre abstrait affecté d'un signe -h ou — .
En effet, soient sur cette droite des points quelconques M', M", M'", dont les coordonnées sont x', y'y x", y"; x"\ y"\. . , : il est évident qu'on a, quels que soient les signes de ces coordonnées.
C'est ce qu'on exprime en disant que le rapport - est constant, et en posant l'équation j^ = ax.
Le coefficient a est un nombre abstrait positif lorsque la droite divise l'angle xOy et son opposé ^ il e;>t négatif quand elle divise les deux autres angles des axes coordonnés.
Si les axes Ox, Oy, font l'angle 0, et que la droite
M'IVI". . . fasse avec Ox l'angle a, il est aisé de voir (64)
qu'on a
X sina
X sin (0 — a)
c'est pourquoi a s'appelle coe^cient angulaire. Quand il est donné, ainsi que l'angle des deux axes coordonnés, on peut en conclure l'angle a. On trouve aisément
asïïïB
tans a =
. i-f-«cosô
Si les axes Oy, Oy, sont rectangulaires, le rapport a est simplement égal à tangua 5 nous l'appellerons, pour ^^réger,
ï inclinaison de la droite sur l'axe des x : son inverse- est
l'inclinaisou de la droite sur l'axe des y.
Les coordonnées o^ et j^, considérées comme appartenant
DES LIOJNES DROITES. 85
successivement à divers points d'une droite passant par Torigine, sont, dans tous les cas, des variables directement proportionnelles , même lorsqu'elles sont de signes contraires.
3^. Si la droite n'est ni parallèle à un axe ni passant par V origine^ son équation est de la forme y =;= ax H- 6, la constante a ayant la même, nature abstraite et la même valeur en fonction des angles que dans le cas précédent, et b étant une longueur affectée d'un signe -H ou — , qu'on appelle Yordonnée à l'origine.
Cela devient évident en traçant par l'origine une droite parallèle à celle dont il s'agit, et en remarquant que, pour une même abscisse, les coordonnées des droites diffèrent entre elles d'une longueur constante.
103. Dans le cas de l'équation ^ = ar -h &> les variables Xyjf ne sont plus proportionnelles, inais leurs accroissements à partir de deux valeurs correspondantes quelconques sont dans un rapport constant égal à a. En effet, si x et y, x' et y', x" e\.y'\.,.^ expriment deux à deux des valeurs si» multanées satisfaisant à l'équation de la droite, on a
y = aJ7H-i, y=:ax'-^b^ j" = ax^ -{- bj. . .^
et Ion en conclut
y—jr=za{x' — x), y^—y = a{x' — x),.,,,
Les différences x^ — x, x" — .r, . . . , qui peuvent être positives ou négatives, s'appellent les accroissements algébriques des x, et se représentent par la notation Ax. Les différences y' — y^ y" — y^ . . . , qu'on représente par Ay , sont les accroissements algébriques des y. La propriété
86 ÉQTJATIOHS
dont il s'agit s'écrit donc ainsi
Ar
et s'énonce en disant que les accroissements sùntdtanés des variables x et y sont proportionnels.
Les sciences physico-mathématiques offrent des cas nombreux d'une pareille loi : par exemple la dilatation d'un oorps, c'est«à-dire son accroissement soit de yolume, soit de longueur^ est, entre certaines limites, proportionnelle à son accroissement de température, toutes circonstances égales d'ailjeurs.
104. Dans un système d'aides déterminé, on peut toujours trouver une droite telle, que les constantes a, 6, de son équation, aient des valeurs données quelconques, positives ou négatives. U suit de là que, réciproquement à la proposition précédente , dans un système quelconque d'axes coordonnés^ une équation de premier degré Ay -t- Bx -h C = o entre les coordonnées ar, y, dans la'quelle jietB sont des nombres ou des rapports donnés^ çt C une longueur donnée^ est toujours celle d'une ligne droite^ qu^il est facile de construire, quels que soient les signes des constantes A^B et C*
105. Trouuer l'équation d'une droite ayant une inclinaison donnée^ et passant par un point donné.
Soit a le coefficient angulaire résultant de Tinclinaisou donnée, et soit b l'ordonnée inconnue à l'origine 5 les coordonnées X, y^ d'un point quelconque de la droite, satisferont à l'équi^tion
(i) y = ax-hb.
Les coordonnées x^y'j du point donné, doivent satis-
DES LIGNES DROi'tES. 8^
faire à la mêiiie équation. On a donc
(2) y z=ax* -^h.
Cette deri^iëre équation détermine 6, qu^on peut substituer dans Féquation (i). Plus simplement par la soustraction on a
On vérifie aisément que cette équation satisfait aux deux . conditions de l'énoncé. On peut l'obtenir immédiatement à l'aide d'une figure.
106. Trouver V équation d*une droite passant par deux points donnés {x\y') [x'^^y^).
Soit a le coefficient angulaire inconnu de x : les coordonnées x, y^ d'un point quelconque, satisferont, d'après le numéro précédent, à l'équation '
qui exprime déjà que la droite passe par le point {xfjy')^ c'est-à-dire dont les coordonnées sont x'^ y'.
Les coordonnées du second point x"^y'\ doivent satisfaire à la même équation ; on a donc
Cette dernière relation détermine a, dont on substitue l'expression dans l'équation (i). On arrive ainsi à
yJ' yJ
ou
L'équation s'obtiendrait immédiatement sous la première forme, soit à l'aide d'une figure, soit par la propriété re-
