Trouver le lieu géométrique des points M , M', M

{fis- ^^)» ^^^* 7"^ ^^ distances AM, AM', AM''', à un point fixe A, sont réciproquement proportionnelles aux distances AN, AN^ AN'', les points î^^ N', N'', étant sur une droite. Eu d'autres termes , il faut que le produit AN. AMsoit constant, quelle que soit la direction ANlVI. On prend l'axe Ax perpendiculaire à la droite NN". Soient AB == a et AN . AM = ai ; on a

TAM = ^x' H- j' et AN: AM :: a : x,

d'où , en multipliant les deux premiers termes de cette pro portion par AM , et substituant pour AN . AM et AM* leurs valeurs , on conclut

ab ix^-hy* Il alXy ou a:'H-j^*=Jx,

équation d'un cercle. On. vérifie très-^aisément cette propriété du cercle par la similitude des triangles AI^B, AMD.

§ IV. ÉQUATIONS DE l'eLLIPSE, DE l' HYPERBOLE ET DE LA PARA BOLE, DÉDUITES DES PROPRIÉTÉS FOCALES DE CES COURBES.

116, L'ellipse a été définie au n^ 96, 1" exemple.

Soieïit F, F', les /ojer5 (fig, 26) 5 p, p', les rayons vecteurs dont la somme constante est 2 a. O,' milieu de FF', est le centre. Si l'on prend OA = OA'= A, les points A et A' appartiennent à la courbe 5 car, pour le point A , par pxemple, on a

AF 4- AF'=(a--FO) 4- (a -+-OF') = aa.

Désignant FF' par 2c, on a niécessairement a"^ c^ car

DE l'hYPEUBOLE et de la PAAABOLte. ^3

{uelconque des triangles tels que FMF' donne FM -1- F' M > FF', ou aa>2c.

— c OF ,

rapport -ou -r^r s'appelle excc/if r/ciyé; A A' et CC sont

axes principaux , savoir :

" grand axe AB = 2 a , petit axe DC = 2 \Ja^ — c' .

- 117. Cherchons l'équation de l'ellipse rapportée à ses ax axes principaux pris pour axes coordonnés : Féquam aura ainsi sa forme la plus simple, puisque la courbe t symétrique relativement aux deiix axes. L'un des rayons icteurs étant désigné par p, l'autre est 2 a — p? et l'on a , après la figure,

p« = y-f-(c-ha:)%

1 ne reste qu'à éliminer p : on a par soustraction

" ' 4^1^ — 4^' = 4cj^j d'où ^'zzz.a'^ »

. et en substituant cette expression de p dans l'une ou l'autre des équations précédentes ,

ou bien

Ii8. L'hyperbole a été définie au n^ 96 , IP exemple.

Soient \es foyers F, F' {fig> 27) •, les rayons ^vecteurs p^ p', dont la différence constante est 2. a. Le milieu O de FF' est le centre. Soit la distance des foyers FF' = 2 c. On voit par \e triangle FMF' que l'on a a < c.

Si Ton prend OA = OB = a , les points A et B appar-

94 ÉQJtJÀTIOliS DE l'ellipse^

tiennent à la courbe. La distance AB =^ tîa s^appelle Vaxe transi^erse.

Là courbe n'a pas de point sur Oy perpendiculaire à AB.

.119, Cherchons l'équation de l'hyperbole rapportée à ses axes principaux , c'est-à-dire aux axes coordonnés rectangulaires Ox, Oy, dont l'un passe par lés deux foyers, et l'autre par le centre. L'un des rayons vecteurs étant représenté par pj l'autre l'est par ± (^ — 2 a ) , et l'on a

Ces dernières équations, étant algébriquement les mêmes

qu'au n° 117, donnent la même valeur de p =iî a -f ^^ et îa

même équation finale qui , à cause de a <[ c , doit s'écrire sous la forme

120. En faisant, dans l'équation (n*^ 117) de l'ellipse, a^ — c' = i*, et dans celle (n°119) de Phyperbole, o' — à^ =, i*, on a pour l'ellipse

et pour l'hyperbole

a'r* — b^x^ = — a^b^. ou 7 = — i.

121. Réciproquement toute équation en coordonnées rectangulaires , de la forme

L ri, ^^ f

* est celle d'une ellipse dont les axes sont ip selon les ai^ et 'xq selon les j^j l'axe contenant les foyers est le plus grand des deux.

DE l'hYPBBBOLE BT DE LA PARABOLE. Q5

Toute équation de la forme

est celle d'une hyperbole, l'axe transverse étant ip oti 2Ç selon que le second membre est positif ou négatif, c'està-dire selon que l'axe des x rencontre ou non la courbe.

122. Etant donnée l'équation d'une courbe, on peut en déduire toutes les propriétés de cette ligne. C'est ce qu'tîn appelle discuter une équation. On ne s'attachera ici qu'aux conséquences les plus immédiates des équations de l'ellipse et de l'hyperbole.

De l'équation de T ellipse

^on conclurait , si on ne le savait déjà ,

i*^. Que l'origine est un centre^ c'est-à-dire le milieu de toutes les cordes passant par ce. point : car, si x et j^ sont les coordonnées d'un point, les coordonnées — x et — y d un point diamétralement opposé satisfont également à Téquation ;

2**. Que chacun des axes coordonnés coupe en leurs milieux les cordes parallèles à l'autre : car, si x et y sont les' coordonnées d'un point, les deux autres points dont les coordonnés sont — x eX. y pour l'un, x et — y pour l'autre , sont également sur la courbe \

3°. Que les longueurs des parties dés deux axes coordonnés interceptées dans la courbe sont ip sur l'axe des x et 29 sur l'axe des y: car, en faisant y = 0, on trouve a; = zt ^ 5 et pour a: = o , y = ±: y.

En résolvant l'équation par rapport à l'une des varia-

g6 ÉQUATIOMS UE l'elLIPSE,

Mes ^ jr par exemple , on a

Le facteur ^p* — x' ou ^[p -hx) (p — x) est une moyenpe proportionnelle entre les deux segments p -{-x^ p * — x du diamètre 2p. Ce facteur est donc égal à l'ordonnée rectangulaire répondant à F abscisse x dans le cercle qui aurait son centre à Torigine et le diamètre a p.

Donc, pour. une même abscisse, Vordonnée de V ellipse rapportée à ses axes principaux est à celle du cercle décrit sur Vun de ses axes, comme diamètre, dans le rapport constant de l autre axe à ce diamètre. De là résulte un moyen de construire l'ellipse par points.

123. On conclut de cette propriété que toute ellipse peut être considérée comm.e la projection orthogonale ou oblique d^un cercle sur un plan , et tout cercle cornante la projectionde dii^erses ellipses ayant un axe commun; considérations fécondés en conséquences intéressantes concernant les cordes supplémentaires, les diamètres conjugués, les parallélogrammes circonscrits.

Une ellipse^ dont les diamètres principaux sont aa et 2 £, peut être regardée comme la projection orthogonale d'un cercle dont le diamètre serait 2«, et dont le plan ferait avec

celui de l'ellipse uu angle ayant pour cosinus le rapport —

Le centre O' de l'ellipse {fig- 28) est la projection du ceptre O du cercle.

Imaginons dans le cercle un diamètre quelconque ÂB et les deux cordes AC et CB, formant l'angle droit AGB. Menons les dianiètres'FG et HI, qui passent par les milieux D, E de ces cordes. Chacun de ces diamètres partage en deux parties égales toute corde parallèle à Fautré : ainsi FG pas^e au milieu de MN, parallèle à HI, et Bipasse au mi-

bË L'llYPERBOl.E ET DE LA PAkÀBOLE. Qj

lieu de NL, parallèle à FG. Enfin,, les tangentes en F^ G, H et I forment un carré PQRS.

Maintenant, considérons dans le plan de Tellipse tous les points et les droites qui sont les projections des points et des djToites dont nous venons de parler, et désignons-les par les mêmes lettres accentuées.

Les cordes A'C et C'B'^ qui partent d'un même point C de la courbe et aboutissent aux deux points A' et B', diamétralement opposés, s'appellent cordes supplétnentaires. Elles jouissent de cette propriété que si par le centre O' on mène les droites H'I' et F' G' parallèles à ces cordes, chacune de ces droites partage en deux parties égales toute corde parallèle à l'autre. Par cette raison, on dit que F'G' et H'I' sont deux diamètres conjugués^,

Ebfîn, au carré circonscrit PQRS répond en projection un parallélogramme P'Q'R^S^ circonscrit, dont les côtés sont parallèle» aux diamètres conjugués, et il est remarquable que toii$ les parallélogrammes circonscrits à Tellipse ont leur aire constante et égale à 4^^- En eiTet^ il est aisé de démontrer, comme on le verra au n° 349, que l'aire de lis^ projection orthogonale d'une figure plane quelconque est égale à l'aire de cette figure dans l'espace multipliée par le cosinus de l'angle des deux plans : donc l'aire P'Q'R'S' est

égale à l'aire PQRS multipliée par --; c'est donc 4^* - on 4ai.

124. On a vu, aux n®' 14 et 15^ qu'en cherchant l'équation d'une courbe définie par une propriété géométrique, on peut reconnaître l'identité de la courbe avec une ligne connue par d'autres propriétés. En voici un autre exemple.

L'angle y Ox étant droit (fig- ag), une droite AB, d^une longueur déterminée, est assujettie à se mouvoir, de manière que l'extrémité A soit toujours sur Oy^ et l'extrémité Bsur Ox. Cherchons l'équation de la courbe décrite par le

gS ÉQUATIONS DB l'bLLIFSK,

point M de la droite, dont la distance aux extréinités A, H, sont les constante^ a, b.

On a