Discussion de Téquation de l'hyperboîe

Pour a: = fl, on ay = o ; pour x <C^al^y est imaginaire ; pour x.]>a et quelconque, y a deux valeurs réelles de signes contraires ; pour jr = o, on a j^ == ±: & \j — i ; c'est pourquoi cette quantité b s'appelle le demi -axe imaginaire. Ainsi là courbe a deux parties séparées, et chaque partie deux branches qui s'étendent indéfiniment.

L'équation, résolue par rapport à x, donnerait

et conduirait aux mêmes conclusions.

126. Lbmme. met n étant des quantités constantes positives ou négatives, la quantité m ^x* -H n diffère aussi peu qu'on veut de mXy si l'on prend x suffisamment grand.

Soit

tz= mslx^ + n^

d'où

/.' — /«'x' z= m^n ou t — mx =

t 'h'nx

Ce dernier dénominateur augmente indéfiniment : donc la différence entre t et mx devient aussi petite qu'on veut.

Ae l'hyp^hbole et de là parabole. 99

127. Ce lemme s'applique à Téquationde Thyperbole, et démontre qu'à mesure que l'abscisse de cette courbe croit, son ordonnée diffère aussi peu qu on veut de J'ordonnëe qui, ayant la même abscisse, appartient k Tune des droites exprimées par Féquation

r=dt-x.

Ces deux droites, dont les branches de la courbe s'approchent autant qu on veut à mesure qu'on les prolonge, sans que les droites et la courbe puissent jamais se confondre, s'appellent asymptotes de l'hyperbole. Elles se construi<^ sent au moyen des deux demi-axes a, b. Toute droite parallèle à une asymptote ne rencontre la cOurbe qu'en un point, car il n'y a qu'un système de valeurs de x et dej^ qui satisfasse simaltanément à deux équations telles que

r' = — x* — b* et y ==-j:-f-i8:

en effet, en élevant la deuxième au carré, et retranchant la première, on trouve

a:: -h jS* 4- £• = o,

d'où l'on tire une valeur unique de x.

Lorsque les demi-axes a et è de T hyperbole sont égaux, l'équation est j^ — x* = — a'. Les asymptotes, exprimées par l'équation j:^±x^ font un angle droit, et l'hyperbole est dite équilatère.

. Il est aisé de voir que toute hyperbole peut être considérée comme la projection orthogonale ou oblique d'une hyperbole équîlatère.

128. Nous avons obtenu une équation simple du cercle (Hl) en plaçant l'origine 'sur la circonférence et en faisant

lOO ÉQtJATlONS DE l'eLLIPSE, *

passer Tun des axes par le centre. Faisons la même chose pour l'ellipse et pour Fhyperbole, en prenant l'origine à une extrémité de Tun des axes principaux de rellipse et de Taxe transverse de l'hyperbole.

L'équation de l'ellipse peut s'écrire ainsi, quand l'origine est au centre O [fig^ 3o ) :

Or (a-^x)[a — x) est le produit APxPA' des deux segments du diamètre AA', déterminés par l'ordonnée MP; il est évident que, si l'origine des coordonnées était en A, AP serait exprimé par x, et PA par na- — x. L'équation de l'ellipse serait donc

f = --['xax^x^).

De même, l'équation de l'hyperbole, quand l'origine est au centre et l'axe des x suivant l'axe transverse, peut s'écrire ainsi :

[x ' — a) [x-^- a) est le produit des deux distances AP, AT (fiS' 3 1), du pied de l'ordonnée aux deux sommets A et A'. Or, si l'origine était en A, les x positifs restant du même côté, AP serait exprimé par x et A'P par ia -f- x : l'équation de l'hyperbole serait donc

Les équations de l'ellipse et de l'hyperbole sont donc renfermées dans la formule

y^ -\- mx^ = ipx

qui exprime Tune ou l'autre suivant que m est positif ou nt'galif.

DE I. HYPERBOLE ET DE LA PARABOLE. lOl