Si Ton change j en jc, et x en j, Téquation
x*= 2py ou y = —
est celle de la même parabole (si p a la même valeur), mais autrement située. Il en est de ijiême des paraboles dont les équations sont
y^ = — 2pXy J = — — .
132. En rapprochant Téquation de la parabole 7* = ^px dé celle de la fin du n** 114;, on voit que l'équation
exprime Tune ou Tautre des trois courbes que nous venons
I02 ÉQUATIOKS DE l'eLLIPSE , DE l'hYPERBOLE , ETC.
d^ëtudier, selon que le coefficient abstrait m est positif^ négatif ou nul.
Quelle que soit la valeur de m, le coefficient linéaire ap de X s'appelle le paramètre de la courbe. Si c'est une des deux courbes à centre, on a ( IS8)
c'est-à-dire que le paramètre est une troisième proportionnelle à Taxe selon les abscisses et au second axe, tandis que
m est égal à =t:~j et par conséquent à ±*-» L'équation
précédente peut donc être écrite ainsi ;
y^dzf- X* = 7.p.T,
• Cela posé, dans le cas où Ton ne voudrait considérer qu'une portion de la courbe, voisine du sommet situé à l'origine, il peut arriver que a soît tellement grand par rapport à p et à la plus grande valeur de x, que le terme ^.
soit à négliger auprès de ipx. Si, par exemple, on fait a= 1 000000™ et p = I , d'où h = y^ = 1000, on aura
^* =r 2X it 0,000001 X*.
Or, tant que x sera assez petit, par exemple inférieur à l", le terme en x' pourra être négligé, et j^' calculé d'après la formule
y* = 2X ou j^' = *ipx^
(!omme si la courbe était une parabole. Telles sont les ellipses que les comètes décrivent autour du soleil comme foyer, tant qu'on n'en considère que les parties les plus rapprochées de cet astre.
C'est pourquoi Ton dit qu'une parabole est une ellipse
.ÉQUAïIOAS DES 8ECTIONS COWiQl'ES . I o3
(et Ton peut dire aussi une hyperbole) dont les axes deviennent infinis, tandis que leur troisième proportionnelle
— ou 2z; reste tinie.
133. L'analogie des trois courbes résulte aussi de l'expression du rayon vecteur en fonction de l'abscisse dans réUipseel l'hyperbole. On a (117) et (il8)
ex .
ellipse si c <^ a, hyperbole si c* ^ « .
Cette équation peut s'écrire :
c'est-à-dire que le rayon vecteur est à Tabscisse, augmentée
de la constante -^9 dans le rapport constant de c à a\ de
sorte que, si l'on prend à partir du centre O (^g. 33), du
côté des X négatifs, une distance OH (ou OH') égale à — >
et si l'on élève sur OH la perpendiculaire HK appefée directrice^ le rayon vecteur FM^ joignant le foyer à un point quelconque M de la courbe, sera à la distance MR (ou MR') , du point M à la directrice, dans un rapport constant, < 1 si la courbe est une ellipse, ^ i si c'est une hyperbole^ De là une définition commune aux trois courbes étudiées dans ce paragraphe.
134. L'ellipse, l'hyperbole et la parabole, sont depuis longtemps connues sous la dénomination commune de sections coniques^ parce qu'on les obtient en coupant par des plans un cône à base circulaire. Cette propriété est comprise dans une proposition plus générale démontrée dans l'un des
I o4 ÉQUÀTIOnS
paragraphes suivants. Mous ne considérerons ici que le cas où les plans coupants sont perpendiculaires au plan principal d'un cône oblique.
On appelle plan principal celui qui passe par le centre de la base circulaire du c6ne et par la perpendiculaire menée du sommet sur le plan de cette base. Les droites suivant lesquelles il coupe la surface conique sont les génératrices principales.
Soient SA, SB (fig. 34)9 ces deux droites, et prenons le plan principal ASB pour plan de projection orthogonale.
Soit A A' la trace et la projection du plan coupant^ c^est aussi la projection de la courbe d'intersection.
Faisons AA'= 2 a.
Soient AB et A^B' deux droites parallèles à la base circulaire du cône : ces droites sont les projections de deux cercles situés sur la surface conique et ayant AB et A^B' pour diamètres.
Faisons AB = 2 r, A' B' = 2 /'.
Soit P le pied et la projection d'une ordonnée y quelconque de la courbe d'intersection. Prenons AA' pour axe des abscisses ayant leur origine en A. Ainsi AP = x, A'P = 2a — X,
Menons par P la droite QQ' parallèle à AB : elle est le diamètre d'un cercle dont y est également l'ordonnée projetée en P. Donc on a "
jr« = PQxPQ'.
Or, du parallélisme des droites AB, QQ' et A'B', résultent les relations
PQ'=A'B'.^=ar'.f^:
DES SECTIONS CONIQUES. lo5
donc , en substituant , on a
rr'
y=^(a«^ — :r'), ou j*^^(2fl,r — X»), en faisant rr^=b*. C'est Téquation d'une ellipse (128).
135. Supposons maintenant que le, plan coupant PAÂ rencontre les deux nappes du cône (fig* 35). On aura de même
PQ'=AB'.^=.r'.:^;
ou
r* = -: (aax-ho:*),
équation d'une hyperbole.
136, Tant que le plan eou|)ant passant par A rencontre la seconde génératrice SB dans la même nappe où est le point A de la première, la section est une ellipse, courbe fermée; si la rencontre A' est dans l'autre nappe ^ la section est une hyperbole composée de deux parties séparées, qui s'étendent indéfiniment dans les deux nappes.
Il reste à considérer ta position intermédiaire. où le plan coupant AP est parallèle à la seconde génératrice principale (/g'. 36).
Soit encore AB = 2 r, et de plus SB = 2 /.
y étant toujours l'ordonnée projetée en P, comtaïune à la
lo6 ÉQU AT ions DES SEC'nO^S CONIQUES.
courbe iMTOjetée eu AP et au cercle projeté en QQ', on a j«=PQxiPQ', PQ = AB==2r,
PQ'=AB.^ = 2r.-,, ^ SB 11
d'où
C'est Téqualion d'une parabole.
On voît que c*esl la courbe dont s'approche de plus eu plus l'ellipse ou Thyperbole d'intersection , à mesure que le point A' s^éloigne du sommet du cône, tandis que le point A reste constant. L'équation de la parabole peut se tirer de celles des deux autres courbes d'après cette considération. Pour cela, écrivons ces équations sous la forme
r' = XZI1--T x^.
r' A' B' A mesure que A' s'éloigne, le rapport — ou -r-rr approche
de la valeur ou y , ainsi le coefficient de x approche de
la valeur finie —» tandis que celui de x*, différant aussi
peu qu*on veut de y • -> approche de zéro.
137. Parmi les sections elliptiques, un cas remarquable est celui où le plan coupant est ariti^parallèle au plan delà base circulaire, c'est-à-dire que le plan coupant A A {fiS' ^7) f^^^ *^^^ ^^^ génératrice principale SA un angle SA A' égal à l'angle SB A que l'autre génératrice SB fait avec la base circulaire AB.
Dans ce cas, les triangles semblables AA'B, AA' B', don-
COURBES PARABOLIQUES. lOJ
nent • .
