DES DIFFÉRENCES FINIES. III

dont les diderences y qui sont les différences troisièmes de là suite des y^ sont désignées par

et ainsi de suite (*).

On remarquera que^jr étant une fonction explicite de jc, Ajocst une fonction de Xo et de (î; que Aj^, , A^,,. . ., n en diffèrent qu'en ce que Xo est remplacé par Xi , Xj ,. . ., ou Xo + cî, Xo H- a d , . . . 5 que A*y^^ est de même une fonction de Xo et 5 , et que A'j^i , A*j^, , • . • , n'eu différent qu'en ce que Xo est encore remplacé par Xj , Xj , . . '. , ou x^) -h J 5 Xi -h 2 (J , • . . -, et ainsi de suite pour les différences de tous les ordres.

Si on supprime les indices de j^, on entend par ûkj-^ à^j^ . . . , des fonctions dç x et de cJ dans lesquelles il ne reste qu'à substituer au lieu de x les valeurs Xg, XoH- J, a:o-f- 2 (î , . . . , pour avoir les suites ci-dessus indiquées.

143. La différence première d'un polynôme est évidemment égale a la somme des différences premières de tous Içs termes; et si l'un de ces termes est constant, il disparaît dans la différence première.

La différence première d'un monôme Ax'" est

k(x-hi)"'—kx"'=^kmdx''^''-+- '^'^^''^~'U ^x'^'\.,,

c est-à-dire un polynôme du degré m — i en x. Ce serait la constante kd si m était = i .

( * ) Les chiffres a, 3 , . . . , à la suite et en t||itit de A ne sont pas des exposants; ûk^jr équivaut à ÀA^, c'est-à-dire qu'il est ractiroissement de l'accroissement de Xy et si l'on voulait exprimer le carré de A/, on écrirait {^xYt ou plus simplement Aj^'. Quand on considère y* comme fonction d'une variable x, son accroissement résultant de ce que x devient x + Ax est désigné par A .j'.