CALCUL
Donc y si y est un polynôme entier en x^ ùky en est un autre ^ aussi entier y et du degré immédiatement inférieur à celui de y,
144. ùk^y^ n'étant autre que la différence première de Àj^, est un polynôme . dans lequel le plus grand eitposant de X sera d'une unité moindre que dans ù^y^ et, par conséquent , de deux unité$ moindre que dans y.
En général , û"j^ est un polynôme en x dont le degré a n unités de moins que le degré àe y\ et , par conséquent , dans le cas où n est le degré du polynôme y eux j Ù!*y est une constante , dépendant seulement des constantes du polynôme y et de la différence d des valeurs consécutives de x. Dans ce même cas, A^+^j- est nul. Exemple :
Si Ton veut avoir les valeurs dej" correspondantes aux valeurs de o; qui diffèrent entre elles de 0,0 1, on peut disposer ainsi les calculs en commencaut parles valeurs de a: les plus simples , et en supprimant la virgule dans les différences :
0,02 q,o3 0,04 etc.
etc.
385i4 37538 36575 etc.
etc.
etc.
On voit qu'il suffit dç calculer d'après la formule
ix^ — 5a:'H-4J^
DBS DTFFÉREKCCS FIHIES. Il3
quatre termes consécutifs de /, et qu^pn obtient ensuite les autres par des additions ou soustractions, ce qui est incomparablement, plus rapide que de calculer directement les valeurs de y, q^i^i^d 1* variable x acquiert plusieurs chiffres significatifs.
On emploie celte méthode pour dresser, d'après des formules doilnées , des tablées servant à abréger les calcula de la mécanique^ de l'hydraulique, des déblais et remblais, etc.
145. Lorsque, après avoir déterminé un certain nombre d'ordonnées équidùtantes d'une courbe, on trouve que leuïs différences secondes sont constantes, on en conclut que la courbe peut être une parabole , et son équation de la forme y = ^ -h Bx -+- O x*. On a vu que trois points connus d'une telle courbe suffisent pour déterminer les coefficients -^ , 5 , C, et , par conséquent , pour calculer tant de points qu'on voudra de la courbe : mais quand les ordonnées, des trois points connus M', M", M"^ [ftg. Sg) sont équidistantes , le calcul se simplifie.
On peut transporter l'origine des coordonnées au point intermédiaire M''. Soit cî l'intervalle M"P'''égal à FM^
Soit Tordonnée de M' = — /i^ et celle de M'" = A, , l'équation cherchée sera de la forme
et devra être salisfaite par les deux systèmes de valeuris I = — I et y.= — A, , I = I et jK = h-
On a donc
— A, = — B+C et /i.= B-+-C,
d'où'
Il4 CALCUL
1/équalion devienl ainsi ou bien *
^=,.|i(A,-ft.)(.-î)f.
Si pour calculer Tordonnée MP d'un point intermédiaire INI on ne prenait quej^ = A, - premier terme de cette, dernière formule, ce serait supposer que les points M'', M, M'^', sont en ligne droite; et si M"P était - M'^P'^, ce qui fait
;- = -> l'erreur commise serait W ( A« — A. ) .
146. Application au calcul des logarithmes des sinus cl tangentes des petits angles :
logsin4®i6'= 2,8715646
Iogsin4^i7'= 2,8732546 ' — 65
log sin4° 18'= 2,8749381 — Ç,&
logsin4^i9'= 2,8766150 — 65
logsin4^2o'= 2,8782854
On demande log sin 4° 1 7' 2 \" ,
Si Ton prenait les angles pour abscisses et les logarithmes sinus pour ordonnées , on aurait une courbe qui différerait très-peu d'une parabole , puisque la différence seconde des ordonnées équidistantes est presque constante. La questiou s© réduit à trouver l'ordonnée intermédiaire répondant à rabscisse4**i/2i".
DES blFFÉRESCES FlKIES. Il5
On applique la formule précédente en transportant rorigîne au point correspondant à 4^*7' 5 prenant l'unité du dernier ordre décimal des logarithmes pour unité des ordonnées , on aura
A, = 16900, As = 16835, A, — Ai = — 65, X 11 ' X 3q \ X [ x\
j devient donc
2 1 1 6835.^ H- 65.o,n4 = 5892, si -h 57,4 = 5900.
C'est ce qu'il faut ajouter à
logsin4° 17'= . . . 2,8732546 pour avoir
logshi4^^i7'2i"= 2,8738446.
147. Lorsqu'on a les coordonnées de trois points d'une courbe, et que la question qui donne lieu à cette courbe permet de la considérer comme peu différente d'une parabole, au moins dans l'intervalle des points obtenus, on calcule approximativement, des ordonnées intermédiaires par la formule du n° 14S,. ou par celle du n° 140 , suivant que les ordonnées connues sont on ne sont pas équidistantes. Cette opération, appelée i*/iier|7o/af /on , est fort utile dans les sciences d'observation.
Exemple, La vapeur d^eau à l'état de saturation supporte une pression qui varie suivant la température. Sachant qu'aux pressions de
5 7 10 atmosphères
répondent respectivement les températures
153,28 i66,5o 181,60 degrés,
Il6 CALCUL
(»ii dcmaiicle les lempératures pouv les pressions Je 6, 8, 9 almosphères.
Faisant y et x égau^ aux accroissements à partir de 166°, 5o et 7 atmosphères, oiva Féquation
y = Ax-h Bx',
>atisfaite par les deux systèmes
.r = — 2, y~ — 13,42, x = 3, j = i5,io;
ce qui donne deux léquahons du premier degré, d'où l'on lire
A = 6,039 et B = — 0,335 ; ; donc
Faisant successivement a: = — 1 , -h î , 4- 2, et ajoutant les résultats à 1 66, 5o, on .irouve les températures cherchées:
L'expérience direcle a donné
148. Nous venons dç voir que j^ étant un polynôme entier en or, ù^y en est un autre dont il est facile de calculer tous les termes, lorsque les coeflScients de x dans ^ sont connus. Quant au terme constant àey^ il disparait dans la différence qui, par conséquent, reste la même quel que soit ce terme.
Réciproquement, si l'on se donne ^y sous la forme d'un polynôme entier en x, et si Ton se donne en outre la valeur de Taccroissement ^ de x, on pourra toujours retrouver j^, sauf le terme indépendant de x qui restera arbitraire.
DES DIFFÉRE&CES FINIES. î 1 7
Soit, par exemple,
Puisque nous savons que > est du troisième degré, posons
j= Ax^-r^ Bx^ H- Cx 4- D.
En mettant a: -h ^ au lieu de x dans ce [jolynpme, on a une expression de ^-h Ay; on en ctmclut par soustraition celle de
. + Cd,
et pour que cette dernière soit identique à celle que nous avons supposée donnée, il faut et il suffit que Ton ait^ en égalant les coefficients des diverses puissances de .r ,
équations du prernier degré, d'où l'on tirera toujours les valeurs àkt A ^ B etC, la constante D restant arbitraire.
149. Voici un emploi utile de ces considérations. Hc'prenons, avec les significations indiquées au n"142, les deux suites
Aj, A/, Aj, ....Ar„,.
Un terme quelconque de la première dépend de riiii (Îcî ceux qui précèdent et des différences intermédiaires, suivant la loi irès-simple indiquée par la formule
{2) r„— /o = Ar-o ■+■ A vi -^ A j2 4- . . . + Ar-i ^ •
Il8 CALCUL DES DIFFÉRENCES FIHIES*
Il suffira donc de savoir calculer la différence j^„ — y^ pour obtenir la somme des n termes du second membre.
Si ^y est une fonction connue du second degré en x, et qu'on se donne en outre la valeur de (ï , on calculera , au moyen des équations (i), les coefficients ^, B et (7, et, p^r conséquent , la différence
Exemple, Soient Aj'= (px-Ki)*, (î=i et j:o = o, par conséquent x^^-^z-n. Le second membre de la formule (2) devient , dans ce cas ,
c'est la somme des quarrés des n termes d'une progression arithmétique dont I(i* premier terpie est i et dont la raison est/?.
. Or, puisqu'^on a ep général
Aj= (po;-!- 1 )' = ;;' jc'-+- 2/3X -4-1, fonction du second degré comprise dans la formule
A )^ = ax* H- ftx -h c ,
on trouvera l'expression correspondante et générale de y (Bji faisant, dans les équations (i),
az=^p^^ h=:^p^ c=i et ^ = 1.
'Les équations (i) donnent en effet
ainsi
.r-g[2,?'x'-h3p(ci — ;7)x'+ (6—6/7 + />»)j:J+D,
COURBES HYPERBOLIQUES. l tg
et , par eonséqueut ,
c'est la valeur cherchée de la suite (S).
Cas particuliers. i^.p = i^ La suite (3) est alors la somme des quarrés des nombres consécutifs depuis i jusqu^à n , et Ton a cette somme
â^^ p= 2, Là suite (3) devient la somme des quarrés des nombres impairs consécutifs depuis i jusqu'à 2n — i , et Ton trouve sa valeur y„ — y© ,
