I-|-3*-4-5*-{^.. .-|-(2W — l)*= j«(2/l — l) (2W Vi

ou, en faisant an — i =^ /,

' Ces dernières formules ont leur application dans les calculs relatifs aux ponts suspendus.

ISO. L'équation y=^ — lorsque m est entier appartieîit

à des courbes dites hyperboliques.

Soient d'abord m = i et yr= — . La courbe s'étend infi-

nimeutdans l'angle yOx et dans son opposé au sommet^ sa construction graphique {fig» 4<^) annonce une hyperbole dont Ox et Oy sont les asymptotes. C'est ce qu'il faut vérifier, en prenant pour axes rectangulaires les droitçs OX, et OY, dont l'une divise l'angle y Ox en deux parties égales, , désignées-chacune par a. On a, en désignant par X et JTle.s nouvelles coordonnées du point quelconque M ,

X = xcos(xX) 4-jcos(yX) =:t?cos« 4-jcosa -y

i20 COURBES HYPERBOLIQUES.

d'où ' .

> ^ COSa

jr = a:cosj(xY)+jrcos(yY) = — x sina -h jsina;

d'où

sma

Op. pourrait cherchera* et ^ pour les substituer dans xy = P ^ mais on n'a besoin que du produit xy ^ les équa lions ci-dessus donnent

•^ "^ COS^a -^ «^ sm'a

d'où

A xy = =^ ; «

^ cos^a sin^ôt

Téquation xy = /* se transforme donc en

ce qui exprime. une hyperbole, dont Taxe transverse est 4/cosa =?: 2OA.

Si les axes O x , Oy sont rectangulaires , on a

sina = cosa = - v2,

et l'équation en Jf, J^, devenant X*^- V*= 2/*, exprime une hyperbole équilatère.

L'équation .ly -f- ax -\-by = c^ pouvant s'écrire ainsi

(y-\-a)[x-^b)=c-^ab^

se ramènerait évidemment , en transportant les axes parallèlement, à la foi me XF=d, Elle exprime donc une

COVHBES HYPE1\601.IQtJES. I^I

hyperbole, dont les asymptotes sont parallèles aux axes coordonnés .

\5\ . L'équation de l'hyperbole, sous la forme xj=const, , conduit à des proprî'étés remarquables de cette courbe.

Soit UV ()îg'^4^} "^^^ sécante comprise entre les deux asymptotes Ox, Oy, et divisée aux points M et M' de la courbe en trois segments : UM = (/ , M' V = i^ et MM'= 5. Menons BC parallèle h UV et pouvant ne pas rencontrer la courbe. Les triangles semblables OBC , QUM et PMV donnent