L'équation ^ = m log - est encore celle d'une
courbe semblable à la précédente, mais non semblablement placée par rapport à Taxe des x, car elle donne
ma
d'où
= loff ( -^ • m ) = log h log/r* ^
^\ma ) ^ ma ^ *
j — amXogm , x
ma ^ ma
donc , en élevant l'origine de la longueur am logm sur l'axe des j', et appelant les nouvelles coordonnées JT^ X,on a
— = log — , ma ° ma
ce qui prouve la proposition énoncée.
155. La courbe dont l'équation est - = m" est également une logarithmique; mais elle a pour asymptote l'axe des X négatifs (fig. 43). Car on a
d'où
ou
^*'s-^ = fios'«;
a log m '^ a
156. Sinusoïde. Si sur Ox {Jig, 44) on porte les abscisses OP, OP', OP'', . . ., égales aux arcs de cercle Am, A m', A m'', et qu'on fasse les ordonnées PM, FM', F'M",. . . , (}e même longu^r et de même sens que pm, p'm', p"m'', . . . .
• '^4 < O l r. B ES ï li VASC K M) A N T LS-
la courbe OMArjM'. . . aura jiour tk^ualioii
y = r sin ( - )
le rayon du cercle générateur étant r; et alors Tangle -
n'est pas exprimé numériquement en d^rés sexagésimaux, mais par le rapport de l'arc compris cnti^e ses côtés au rayon avec lequel il est décrit.
La forme générale de la courbe est facile à discuter.
157. Cycloïde. Si un cercle roule sans glisser sur uin' droite, en restant dans un même plan, la courbe quedt*crit un point de sa circonférence s'appelle une cycloïde
Soit AmB le cercle générateur dans sa position initiale. Soit LMK une autre position quelconque. Supposons que le point décrivant soit en A sur le premier cercle et en M sur le sei'ond. Par la définition , on a
arcL]VI = AL.
Or, si Mm est parallèle à AL, on a
Am = LM, mM = AL; donc
mM = arcAm.
Do même
m' M' = arc A m' ; etc.
Ku général , ou a j^ = x pour une équation de la courbe . ou appel au t .r r abscisse cunfiligne A m, portée à partir du point A sur la circonférence A m B, et y Fordonnée m M para lUMo à Taxe AE. Si enlise «*os mêmes variables l'équation élailv :-=ri,r, la cvcloïde serait allongée ou raccourcie M'Ion \\\\v la conslantt» a serait ^ ou <[ i .
IfiH. Sjtimlr fl\h\hntii\U\ lue droiJo OM (fig* 4^)
TRAMSFORMATIO» DES COORDONNÉES Dl'S COIUBES, ETC. I ^f»
tourne dans un plan autour d'un de ses points O 5 le point INI est mobile sur la droite, et y parcourt des longueurs égales pendant que la droite OM décrit des angles égaux. Le point M décrit sur le plan la spirale d^uérc/timède.
Soit Oa la position de la droite quand le point décri\ant est en O5 amm' est un cercJe quelconque, ayant O pour centre. Les longueurs OM, OM', du rayon vectetir sont proportionnelles aux angles aOM, aOM', ou aux arcs am, am'. De là une construction facile de la 'courbe quand on connaît la longueur ON parcourue par le point décrivant pendant une révolution entière de la droite mobile. .
Cherclions à exprimer cette courbe par une équation,
1S9. Soit ON = /, donnée; le rayon vecteur OM =/5,
variable. Soit -~>^ — == ; ce rapport Q de Tare variable, a ni
à son rayon est l'expression analytique de l'angle aOm. D'après la définition de la courbe, on a, pli il 6l un ou 'n:p = l6^ équation cherchée dans laqtielle les variables p et 9 sont les coordonnées polaires de la courbe. .
170. La courbe dite déi^eloppante à\k cercle, utile en mécanique, est étudiée dans le Cours de Géométrie desnipiive.
§ VIL TRATVSFORMATION DES COORDONNÉES, APPLIQUÉE AUX COURBES DU SECOND DEGRÉ.
161. Les équations des courbes dont noiis venons de nous occuper ont été pbtenues sous des formes simples, par suite du choix convenable de la position des axçs coordonnés. De même que l'équation du cercle (95 et 96) est plus compliquée lorsque le centre a une situation quelconque que lorsqu'il est à l'origine des coordonnées, de même il est évident que les équations de l'ellipse, de l'hyperbole et de
126 TRAl«SFORMATIOM DES COORDONIÎÉES
la parabole, seraient moins simples si les axes étaient pris arbitrairement et faisaient un angle quelconque. Mais il est important de constater :
i°. Que dans tous les cas les équations de ces trois courbes exprimées en coordonnées parallèles à des axes sont du second degré, c'est-à-dire toujours comprises dans la formule générale
Ay'^ -h Bxy -f- Cx' -h Dy -h Ex -h F =± o ;
2*^. Et que réciproquement une équation du second degré en coordonnées parallèles à des axes ne peut exprimer une autre courbe que l'ellipse (dont le cercle est un cas particulier), rtyperbole ou la parabole.
La démonstration de celte double proposition dépend d'une méthode générale qu'on appelle la transformation des coordonnées. -
162. Soient Ox, Oy {fig* 47)5 '^ axes donnés quelconques auxquels est rapportée une courbe dont l'équation
est F [x^y) = o;
Soient Q'x', 0'y\ les axes également donnés relativement auxquels on se propose d'obtenir l'équation de la même courbe 5
Soient a et i les coordonnées OA , AO', de l'origine 0' relativement, aux premiers axes.
M étant un point quelconque de la courbe, ses coordonnées X ^ly sont OP et PM, tandis que ses coordonnées j:' et y' sont O' P' et P'M'. Il est aisé d'exprimer par des équations les relations qui existent entre les quatre variables o:, y, x'^ y\ les constantes a, J, et les angles des axes entre eux. Il suffit de remarquer que la ligne brisée OPM, composée de X et de j^, et la ligiie brisée OAO'P'M , composée de a, 6, x'etj^', sont deux contours polygonaux conduisant du point O au point M, et que par conséquent leurs
