DES COURBES BU* SECUKD DEGRÉ. I

projections sur une même droi|£ sont égales (22). Nous bornarrt ici à considérer les projections rectangulaires, nou^"^ pouvôiis appliquer le théorème du n° 46^ et afin d'obtenir séparément les expressions de j: et de j^ en fonctions des quantité&o^^, j^^;; a, &, et des angles, nous prenons successif- • vement pour axes de projection, d'abord la droite OX perpendiculaire à Oy, puis la droite OY perpendiculaire à Ox. La formule ci-dessus devient, dans ces deux cas (en remarc^uant que Tes cosinus des angles d'une droite avec OX et avec OY sont les sinus des angles de la même droite avec O y et avec Ox),

xsin (x,y) = a sin (x, y) -4- x' sin (x', y) -f- j' sin (y', y), jsin(y, x) = isin (y^x) •+- x'sin (x',x) -+->' sin (y', x),

d'où -

^ . ^^sin(x^y)•-H/sin(y^^j

sm(y, x)

, :r'§in (x',x) -H/sln (v', x)

^ - sm(y,.x)

t63. Les coordonnées x,y, ^S J^'? d'un même point de la courbe considérée, satisfont simultanément à Féquation F (x^y) =± o et aux deux formules finales du numéro précédent; donc si l'on substitue a x et à j' dans Téquation F (x^j) = o leurs expressions données par ces formules, on aura une nouvelle équation qui sera également satisfaite, et qui, ne renfermant plus d'antre variable que x' et /', sera l'équation de la même courbe rapportée aux axes OxVOy'.

164. Si l'équation F (x^y) = o est une équation algébrique du m**'"' degré, c'est-à-dire qui puisse se ramener à la forme

y4j^-{- (JSx 4- C)y'"-* -h (Dx^-hEx-hF)Y"'-^ -h...= o,

la plus grande somme des exposants de x et de -ptlans un

ia8 TRANSFORMAtlOBI DES COORDOKMÉES

même terme étant le nombre entier m, Téquation transformée en nouvelles coordonnées a:', y\ ne sera pas d'un drgré supérieur au m""", puisque les valeurs de x et de r à substituer dans la première équation' sont du premier degré. L'équation transformée ne sera pas non plus d'un dei^rt' inférieur au m*''"', car il faudrait, pour que cela fût possible, que le degré put s'élever quand on reviendrait des nouveaux axes aux anciens.

Ainsi, à quelques axes coordonnés qu'on les rapporte-, les équations de l'ellipse, de l'hyperbole et de la parabole, sont toujours du second degré.

165. Pour établir la réciproque de cette proposition, nous prendrons T équation la plus générale du second degré à deux variables :

(i) >rfj^*4-5aj-hCx*+iDy-f-£x-h-F=o,

et nous supposerons que les coordonnées x q\ y sont rectangulaires, en remarquant que, s'il en était autrement, on pourrait, par la transformation, obtenir pour la même courbe rapportée à des axes rectangulaires une équation différente, mais toujours du second degré.

Nous remarquerons, en second lieu , que si le terme Bj^' n'existait pas dans l'équation , une transformation pareille à celle du vP 112 réduirait facilement Téquatiou à trois termes. Proposons-nous donc de faire disparaître de Féquation le produit xy en changeant la direction des axes, mais en les conservant toujours rectangulaires et sans changer Toriginedes coordonnées.

Dans ce cas particulier, les formules finales du n^ 16!2 se simplifient : on a

rt==o, ft=:o, sin(y,x) = i, sin(x', y) = cos(x', x),

siu(y', >) = — sin (x\ x), ^ 5iii \\\ x) = cos(\', x);

DES GOUtlBES DU SECOND DEGUÉ. 1 29

et si, pour atréger,. on remplace Fangle (x', x) par a, les formules de transformation deyiexinent (telles qu'on aurait pu les obtenir directement par la théorie des projections)

x = x'cosa — jy'sina, y = x'sina +j^'cosa.

Mettant ces expressions de x et de y dans rëquation (i)> on obtiendra une transformée du second degré y de la forme

(a) ^y* ■+. B'x'y-h C'a/* -f- lyf-h e'x'+f=i o ^

dans laquelle les coefficients A', B', . . . , renfermeront Fangle a. Il s'agit de choisir cet angle de manière que B' soit nul. Or, en réunissant les termes en x^y^ qui proviendront de la substitution, on trouve

B' = ii[A-7' C) sinacosa H- JS(cos*a — sin^a),

ou (56) ■ .

B' = (ui — C) siB2a-f-5cos2a.

Cette quantité serait nulle indépendaniment de^ oi si Ton avait à la fois A c=: C et £ = o, auquel cas il est aisé de voir (li2) que Féquation (i) en coordonnées rect^gulaires serait celle d'i^n cercle.

Dans tout autre cas, il faudra, pour faire, disparaître le produit x'y, satisfaire à l'équation

{A — C) sin2a 4- ^cos2c3t = o,

d'où , en divisant par (^ — C) cos2a ,

Comme la tangente d'un angle qui passe de zéro à 1 80® prend toutes les valeurs entre -H 00 et -r- 00 ^ il s'ensuit qu'on trouvera toujours un angle* a , mais un seulement, plus petit que 90^, satisfaisant à la condition proposée. Il y a donc toujours un* système d'axes rectangulaires (et il n'y

l3o TRAlfSFOUMATION DES <!001lD0nNÉES

en a qu'un , sauf le cas du cercle) pour lequel requatioii d'une courbe du second degré se réduit i la forme

^y«H. C^x'»-*^ Z)Vrh £V4-F= o.