Il reste à compléter la transformation de cette

équation pour la réduire à trois termes. Il faut pour cela

distinguer le cas où aucim des coefficients A\ G n'est nul,

. et celui où l'un des deux disparaît. Us ne peuvent être nuls

tous deux , puisque l'équation doit rester du second degré.

Dans le premier cas, l'équation peut s'écrire ainsi-:

Cela posé, il est toujours possible de transporter les axe» parallèlement à eux-mêmes en O^'x", 0"y", de manière que, x" et j^" étant les coordonnées d'un point de la courbe dans ce second système d'axes rectangulaires, on ait

^'+^ = J^" et y'+^=y'.

car il suffit et il faut pour cela* que les coordonnées de la nouvelle origine par rapport aux axe» Ox', Oy', soient,

Fabscisse — y^-j et l'ordonnée — ^-

En faisant, pour abréger,

l'équation de la courbe se réduit définitiyenient k

Faisons maintenant toutes les bypotb^ç possiMes sur les valeurs des constantes ^', C\ F ^

i^. Si elles étaient toutes -trois de même signe, réqua" tion serait impossible à réaliser.

I>£S COURBES DU SECOND DEGKÉ. l3l

2°. Si F^ était nul , et A' de même signe que C\ l'équalion ne serait satisCaite que par j: = o , j^ = o , elle exprimerait un seul point , devenu Torigine par la dernière trans^ formation .

3**. 3Î5 /^' étantnul, A* et H étaient de signes contraires^ Téquation, réduite à la forme

j^* = X' x' ou j- = ±: Kxy

exprimerait deux droites passant par l'origine ^ et situées symétriquement par rapport aux derniers axes.

4^. Si A^ et C ont un même signe, contraire à celui de /^, Téquation , réduite à la forme

est celle d'une ellipse rapportée à ses diamètres principaux (107). •

5**. Enfin, si ^'et C sont de signes contrait'es, quel que soit celui de F', l'équation, se réduisant à l'une des formes

est celle d'une hyperbole rapportée à ses diamètres priiici* paux(107).

167. Le» dernier cas à considérer est celui où, dans l'équation finale du n**165, l'un des coefficients A'^ C, est nul. Soit C= o.

Si l'on avait en même temps iS' = o, l'équation , réduite à A' y* -h D^y 4-2^ = 0, exprimerait deux droites parallèles à l'axe des x\ Dans toute autre hypothèse^ l'équation peut s'écrire ainsi : .

i3a diamètbes .

Or, en transportant les axes parallèlement, de manière qu'on ait

f . ^ ^ If ' . ^ ^'^

on ramène Téquation à la forme

qui appartient exclusivement à la parabole.

168. Ainsi se trouve démontrée la proposition énoncée au n** 161 . C'est donc à juste titre que, vu Temploi presque exclusif des coordonnées parallèles à des axes, les courbes étudiées au §IV (n°M16 et suiv.), d'après leurs propriétés ybca/e,y, s'appellent courbes du second degré.

Des diamètres des courbes du second degré.

169.. Une équation du second degré peut être utilement discutée d'une autre manière que par la transformation immédiate des coordonnées, pour reconnaître le genre de courbe qu'elle exprime. Reprenons cette équation sous la forme la plus générale, l'angle des axes coordonnés étant quelconque,

(i) ^j*-f- Bxy^ -f. Cx'-f- Dy -4- Ex -i- F ==: o,

et supposons que le coefficient A de y^ ne soit pas nul; c'est ce qui aura lieu lorsque l'axe des y aura été choisi de manière 'qu'une parallèle à cet axe rencontre la courbe en deux points, et par conséquent ne puisse pas être une asymptote. L'équation résolue par rapport à y donne

± L ^(5 > 4 ^C) «»+ 2 (JÎZ> — a AE) + />•— 4 AF,

. DES COUKBES DV SECOND DEOKÉ. l33

d'où Ton conclut d'abord que la droite dont l'équation est ,o\ B D

coupe en leurs milieux, et sous un angle qui généralement .n'est pas droit, toutes les cordes parallèles à Taxe des j*.

Cette droite est un diamètre de la courbe, et la discussion de cette courbe se ramène à celle du radical de l'équation (2).

Si l'on a JS' — ^AC > o, la courbe s'étend à l'infini du côté des X positifs et du côté des x négatifs. C'est donc une hyperbole, sauf le cas particulier de deux lignes droites, quand le trinôme en x sous le radical est le carré d'un binôme.

Si l'on a jB* — 4 ^C <[ o, le trinôme sous le radical devient négatif dès que Xy soit positif, soit négatif, est suffisamment grand en valeur absolue; la courbe est donc limitée dans tous les sens, et c'est ujie ellipse, sauf le cas d'impossibilité, quand le trinôme souS le radical r«ste négatif pour toute valeur de x, et le cas d'un point unique quand le trinôme changé de signe est le carré d'un binôme.

Enfin si l'on a JS' — 4 ^^ = ^î selon que BD — 2 AE est positif ou négatif, le radical reste réel pour des valeurs croissant indéfiniment dans un seul sens; la courbe est illimitée de ce côté seulement; c'est donc une parabole, sauf le cas de deux droites parallèles au diamètre déter-* miné par l'équation (3)*.

Dans les deux cas où jB'-t- 4 ^C n'est pas nul , la courbe a un centre placé sur le diamètre exprimé par l'équation (3) '. Si l'on y transporte l'origine des coordonnées en prenant l'axe des x suivant ce même diamètre, et l'axe des y parallèle à sa première direction , la nouvelle équation de la même courbe est, en. coordonnées obliques , de la forme

j' -f- il/x' 4- iV = o,