Problème. Connaissant les équations de- deux droites

(i) z = ax+p \

\ pour la première ^

(2) z = by -hq]

, } pour la seconde,

"vérifier si ces droites se rencontrent^ e/, dans le cas de V affirmative^ trousser les coordonnées du point d^intersection.

Les quatre équations ci-dessus doivent être satisfaites par les trois inconnues x^ y^ z y coordonnées du point de rencontre.

' DE LA XIGNE BKOITE DAMS l'eSPACE. lij

Les équatioiis(i) et (3) donnent

(5) (a — a^) z =zap^-^a'p.

Les équations (a) et (4) donnent

(6) {b — b')z = bq'~b[q.

Les équations (5) et (6) devant donner lainème valeur dez, il faut que les constantes satisfassent à 1 equatioû de condition suivante :

(a — a') {bq'—b'g) == {b — b') (ap' — a' p\.

Quand elle a lieu , le reste du problème est aisé à résoudre. ' .

<75. Problème. Connaissant les équations d^ une droite D rapporté^ à trois axes rectangulaires y trouver les angles qu^ elle forme avec ces axes.

Transportons la droite parallèlement à elle-même de manière qu'elle passe par l'origine, ce qui se fait en supprimant les termes constants des équations. Les angles cherchés ne sont pas changés, et les deux équations peuvent alors s'écrire sous la forme

Un point de la nouvelle droite, dont les coordonnées sont x, y^ z est à une distance de l'origine exprimée en grandeur absolue par V^x*-|-j^*-+- z', et en considérant le sens positif de la droite comme allant de l'origine à ce même point , on a pour les cosinus des angles cherchés :

cos(D, x) =

cos(D, z) = *

slx^-{-y^-{-z^

l38 ÉQUATIONS DE LA LIGNE DROITE DANS l'eSPACE.

Or,.(l' après les équations ci-dessDS, x^ y et z sontproportionuelles à a , b eiCj donc

cos(D, x) =

)Ja'rh b

cos(D^ z) =:

formulés dans lesquelles il faut remarquer que les constantes a, i et c, sont positives ou .négatives, qu'elles ne sont données que par leurs rapports (grandeurs ej; signes), qu'on peut par conséquent les multiplier par un nombre quelconque, et changer simultanément leurs signes, ce qui change ceux des trois cosinus et revient à changer le sens positif de la droite.

Héciproquement j sachant qu'une droite passe par rorigine des axes rectangulaires , si l'on se donne les angles qu'elle forme avec ces axes, c'est-à-dire les cosinus de deux d'entre eux et le signe du cosinus du troisième (42) , on en conclura que les équations de la droite peuvent être posées

comme il suit :

cos(D, X) cos(D, y) cos(D, z)'

ce qui revient à écrire, chose évidente, que les trois coordonnées d'un point de la droite menée par l'origine sont proportionnelles aux trois cosinus..

176. Problème ; Trouuer les équations d^une droite pas^ sant par un point donné et parallèle à une autre droite donnée^ ou faisant as^ec les axes rectangulaires des angles donnés,

^ La droite donnée étant transportée à l'origine et parallèlement à elle-même , ses équations peuvent alors être mises

sous la forme

ÉQVÀtriOIÏ DU FLAN. ÎSq

et celles de U droite menée parallèlement par le point >dont les coordonnées sont x^-,y\ z* peuvent se ramènera celles-cîi

ou bien , si les axes sont rectangulaires ,

cos(D, x) *"" cos(D, y)' cos(D, z)'