COORDONNÉS
177. Le procédé qui donne celte équation dépend de la génération qu'on adopte pour le plan.
Ce plan rencontrant nécessairement au moins l'un des axes, supposons que ce soit celui des z. Soit c la distance positive ou négative de l'origine à la rencontre C de cet axe {fig* 48). Les équations des deux traces, dans les deux plaos coordonnés xOz et yOz, sont de la forme
z=-ax -\' c pour la trace D dans xOz, et
z=zby ~\- c pour la trace E dans yOz.
Considérons le plan comme la surface engendrée par une droite G qui , s'appuyant sur là droite D, directrice fixe, se meut parallèlement à la trace E, laquelle est, par conséquent, l'une des positions de cette génératrice.
Soient a et j3 les coordonnées parallèles à Ox et à Oy du point P, où la génératrice G coupe la directrice D. Elles satisfont à l'équation de cette droite, de sorte qu'on a
(i) J3==aa-hc,
et la génératrice G, passant par P et étant parallèle à E , a pour équations
et
(3) z^by + ^.
l4o ÉQUATIOU
Si , en canservanl à la distance c et aux coefficients angulaires a et & leurs valeursi algébriques, ou fait varier (X, et par conséquent P, on pourra faire prendre au point P toutes les positions imaginables sur la directrice D. Ainsi les équations (i), (2) et (3) ont lieu entre les quantités a et |3 q[ui conviennent à la génératrice passant par un point quelconque du plan et les coordonnées x^ y et z, de ce point. Donc, en éliminant a et jS^ on aura la relation cherchée, indépendante de la position particulière de la génératrice. Cette équation, qui exprime complètement la position du plan , est
z = ax -i- bj -i- c.
Elle s'applique à tous les cas possibles, sauf celui ou le plan serait parallèle à Taxe des z. Dans cette hypothèse, réquation ne contiendrait (92, 2^) que les variables a: et j, et ne différerait en rien de Téquation de la trace du plan sur celui de xy ; elle serait donc de la forme
mx -h TT^ + ^ = o ,
pouvant se réduire kx = k ou y =^l si le plan était à la fois parallèle à deux axes coordonnés.
178. Réciproquement, toute équation du premier degré comprise dans la formule générale
Ax -hBy-hCz-h D = Oj
dans laquelle les variables x, jr^ z^ sont les coordonnées d*un point variable, exprime toujours un plan. Car, à moins que C ne soit nul, auquel cas le plan serait parallèle à Taxe des z, on peut, en divisant par C, mettre Téquation
sous la forme
z =z ax -h by -i-c,
et, par conséquent, concevoir la génération d'un plan (177) dont tous les points satisferaient, el satisferaient seuls , par leurs coordonnées à l'équation proposée.
DU PLAJC. l4f
179. Intersections d'un plan avec les plans et les axes coordonnés. S\ dans Fequation d'nn plan on fait Tune des coordonnées égale à zéro, on a l'équation de la trace du plan sur le plan des deux axes parallèles aux autres coordonnées.
Si dans Téquation d*un plan on fait simultanément deux coordonnées nulles , ceite équation donne.la troisièine coordonnée égale à la distance de Forigine au point d'intersection du plan et de Taxe parallèle à cette coordonnée.
Tout plan passant par l'origine a son équation comprke dans la formule générale
180. Quand le plan ne passe pas par l'origine, l'équalion peut être écrite sous la forme
et p, Çj r, sont (179) les distances de l'origine aux intersections du plan avec les trois axes.
181 . On peut trouver l'équation d^un plan en le considérant comme une surface qui contient toutes les perpendiculaires menées à une droite par un même point de cette droite.
Quelle que soit la position du plan , soit ON (fig* 4,9) ï* droite menée de l'origine O perpendiculairement à ce plan, qu'elle rencontre en N. Soit M un point quelconque du plfi^n, et soient x, y, z ses coordonnées.
Joignons M et N par la droite MN. Cette droite est perpendiculaire à OTN , et, par conséquent, la longueur ON est la projection orihogonale de OM sur la droitA)N- Mais la projection de OM est égale (22 et 48) à celle du contour polygonal OPCM , composé des coordonnées ar, y, ^, du point ]Vt. Donc, en faisant ON = J, on à
(i) J = X oosNOx -h y cosNOy -h z cosNO*.
t4^ ÉQUATIOn
Celte équation , dans laquelle (^ et les trois cosinus sont des constantes , tant qu'il s'agit d'un même plan , est Tëqua^ tion de ce plan.
Si la droite ON est donnée par ses équations, on peut demander r équation du plan qui lui est perpendiculaire , en fonction de la distance d et des coefficients qui déterminent la droite. Les équations de celle-ci peuvent être mises sous la forme
Les cosinus des angles qu'elle forme avec les axes rectangulaires sont des fonctions de a, i, c qu'on trouve très-facilement (174), et l'équation (i) du plan perpendiculaire à cette droite, et dont la distance à l'origine est d, devient par suite
à V^a'-h A*-hc* = ax-^hy'\- cz.
Réciproquement on peut se proposer la question suivante.
1 82. Problème. Une droite étant menée de l ^origine perpendiculairement à un plan donné y trouver les équations de cette perpendiculaire^ les angles qu elle forme avec les axes rectangulaires y les coordonnées de son pied sur le plan, et la distance de l'origine à ce pied.
Soit l'équation du plan mise sous la forme
Solution dil'ecte de la question* Une droite étant perpendiculaire à un plan, la projection orthogonale de la droite sur un second plan est perpendiculaire à la commune intersection des deux plans. Donc la perpendiculaire au plan donné a pour équations
y^=-^x et z=i-zXy ou bien "7 = ^
