DU FLAN
Les cosinus des apgles qu'elle formé avec les axes sont proportionnels aux coordonnées x^ y, z d'un point quelconque de cette droite 9 et par conséquent proportionnel» aux coefficients A^ B^ C De là et de ce que la somme des quarrés des trois cosinus est égale à i , on conclut
cos(N,.x) =
cos(N,y) =
COs(N>z)=: ■ t — »
Les coordonnées a*', j\ z' du pied de la perpendiculaire satisfont aux équations du plan et de la droite; on obtient d'après cela
Enfin , quant à la distance i de Forigine au plan , on a
Solution déduite de V équation (i) du n*^ 181 • En identifiant les deux équations
et
a:cos(N,x) H-/cos(N, y)-h-zcos(N, z) =^d'^
on a
cos(N,x)==:^(î, cos[^,j)^Bd, cos(N,z)=Ccî,
et en élevant au quarré et ajoutant,
De là on tire immédiatement B et les trois cosinus^
l44 ÉQUATIONS
Par suite, les équations de la perpendiculaire passant par Torigine qui sont '
cos(N,x) ""coslN, y) "^ cos(N,z)'
tlevîennent
Enfin les coordonnées du pied sont
^'= dcos(N, x) = Ac?«= ^,^^,^^^ , y=cîcos(N,y),ete.
183. Une droite peut être exprimée par les équations «î trois variables de deux plans différents qui la contiennent. Il suffit de considérer ces deux équations comme devant être satisfaites simultanément par les coordonnées x^y^ z. On peut, par deux éliminations successives d'une variable, obtenir un système équivalent, mais plus simple, de deux équations à deux variables^ et ces équations sont alors tout à la fois celles des deux plans projetants qui y correspondent.
§ X. DE LA TRANSFORMATION DES COORDONffÉES PARALLÈLES A TROIS AXES, APPLIQUÉE AUX SURFACES DU SECOND i)EGRÉ.
184. La forme la plus générale d'une équation algébrique du second degré entre trois coordonnées x^y^ z est celle-ci :
Ax'+A'y''-^- A" z'^'ArBxy -f- B' xz + B"yz ^Cx-^-Cy-^r C"z^D = o.
On conçoit, par ce qui a été dit (161 et suiv.), qu'une telle équation, considérée comme exprimant une surface ^ peut
DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ, l43
être simplifiée par la transformation des coordoiiTiées s^ns cesser d'exprimer la même surface.
185. Par une méthode analogue à cell^ du n^ 162, on obtient immédiatement des formules pour cette transformation.
Soient Ox, Oy, Oz, les axes primitifs faisant entre eux des angles quelconques ;
a , i , c , les coordonnées de la nouvelle origine O' 5 O'x', O'y', O'zf, les nouveaux axes quelconques.
M étant un point quelconque, considérons deux contours polygonaux conduisant de l'origine O à ce point M : l'un,, composé de x, j^, z^ l'autre de a , ft, c, x\ y\ z\ Leurs projections sur une droite quelconque sont égales, et peuvent fournir une relation entre les coordonnées primitives et les nouvelles. Pour obtenir directement x,y, r , en fonction de a, è, c, a^ y\ z^j imaginons un axe auxiliaire OX, perpendiculaire au plan yOz: les projections de jr, z^b ^ c ^ sur cet axe , sont'nulles, et nous avons
j:cos(x, X) == acos(x, X) -|-wï:'cos(x'X)
-f-j^' co8(y', X) -f- z^ cos(z', X).
En considérant deux autres axes auxiliaires de projection , savoir: OY perpendiculaire au plan xOz , et OZ perpendiculaire au plan xOy, on a deux formules analogues :
jcos(y, Y) = icos(y, Y) -f-a:'cos(x', Y) -i-j' cos(y', Y) -i-z'cos(z', Y),
zcos(z,Z) = cCos(z, Z) -f- J:'cos(x', Z) -hj'xîosfy', Z)
^'cos (z', Z).
186. Quelle que soit l'équation F (ar,j^, <z) = o d'une surface, en y substituant à x,j^, z , leurs expressions tirées
l46 ÉQUATIOINS
des formules in-dessus , on aurait une équation en x\ y , z\ qui serait Téquation de la mèine surface rapportée aux nouveaux. axes : les quantités a,&,c, et les cosinus qui entreraient dans* la nouvelle équation, doivent être considérés comme connus dès que l'on connaît les angles des axes primitifs entre eux et la position' des nouveaux axes par rapport aux anciens. '
187. De ces considérations générales résultent quelques conséquences importantes dans le cas où réquatiou F(x^y^z)=^o de la surface est algébrique.
1°. L^ équation transformée en x\j\ z' ^ est du même degré que V équation primitii^e. Le raisonnement pour le démontrer est celui du n**164.
a°'. Si l'on coupe par un plan quelconque une surface dont Téquation F (a:, y^ z) = o est algébrique , /a courbe d^ intersection est tout au plus du même degré que la surface, c'est-à-dire que l'équation qui exprimerait cette courbe, rapportée à deux arxes quelconques pris dans sou j plan, ne serait pas d'un degré supérieur a celui de l'équation F (x,j)^, ^) = o.
En eflet , concevons qu'en transformant les coordonnées on prenne les axes des x' et des ^' dans le plan coupant. La nouvelle équation de la surface en x\ j\ ^\ sera du même degré que la première. Or, il suffira d'y faire z'=o pour avoir l'équation de la courbe d'intersection, ce qui ne pourra jamais élever le degré.
3°. Une droite ne peut percer une surfoce en un nombre de points plus grand que V indice du degré de la surface, mais elle peut, en certains cas, s'y appliquer tout entière.
En effet , en prenant la droite considérée pour axe des x'y et faisant ensuite j^'=: o et 5:'=;:o simultanément dans Féquation transformée, on aura une équation en x', qui
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