PES SURFACES DU SECOND DEGRÉ. ^^J

sera, au plus, du njLêiue degré ^ et dont les i^cinW seront les distances de rorîgine O' aux points d'intersection. ♦

Si la supposîtionj^'= oj z'=o, rendait T équation* de la surface satisfaite indépendamment de x', l'axe O'x:' serait tout entier sur la surface»

188. Si, au lieu de changer à la fois les trois axes,.comme nous Favons supposé au n^ 185, on en conserve uii, et qu'en déplaçant les deux autres on les laisse dans leur plan primitif, la transformation est plus simple. Supposons que l'on conserve l'axe 0%^ et qu'on remplace Ox, Oy par Ox', Oy', l'ordonnée z d'un point M quelconque sera^àmmune aux deux Systèmes de coordonnées , et les relations entre j:, y^ x' et y\ seront celles qui ont étç établies au

.189. Appliqubns cette observation à l'équation générale du second degré à trois coordonnées , afin de la réduire à la forme la plus simple, et parvenir ainsi plus. facilement à caractériser les divers genres de surfaces que cette équation peut exprimer suivant les diverses valeurs, de ses coefficrient$.

Nous supposerons rectangulaires les tji'ois axes', en remarquant que, s'ils ne l'étaient pas, on pourrait les remplacer par d'autres qui léseraient, sans changer le desré de l'équation exprimant la mênie surface (187 ,. j[° ).

Cela posé, en conservant l'axe Oz, et en raisonnant quant aux deux autres comme on l'a fait au n® 167, on voit qu'on peut toujours faire disparaître le* terme contenant le produit xy. Nous supposerons donc, pour simplifier nos calculs , que B soit nul dans l'équation du n^ 184 , qui devient •

lO.

l48 ÉQUÀTIOMS

et qui peut aussi bien exprimer toute surface du second degré.

190. Démontrons quil est toujours possible de diriger l'axe des z, les coordonnées restant rectangulaires, de manière que l'équation j exprimant toujours la même surface quauparax^ant^ ne contienne plus les produits xz^yz.

Soit OZ la direction cherchée {fig- 5o) -,

Soit Ox^ la projection orthogonale de OZ sur le plan xOy5

Et soit OY menée par l'origine O et dans le plan xOy perpendiculairement à Ox'. Cette droite sera par conséquent perpendiculaire à OZ.

Si l'on voulait prendre Ox', OY et Tancien Oz, pour nouveaux axes coordonnés, il faudrait (188 et 165) , en faisant xOx'= 0, substituer dans l'équation de la surface les expressions

j: = x'cos0 — JTsinÔ,

y = x' sinO H- .KcosS,

et laisser z sans changement.

Cette substitution faite, on pourrait changer les deux axes rectangulaires O x , Oz , et les remplacer par OX, OZ, également rectangulaires, et dans le même plan perpendiculaire à OY.

Pour cela , il faudrait, en appelant y Tangle zOZ, substituer dans la transformée précédemment obtenue

z z=z Z cosy — X sin y, x' = Z siny -f- Xoosy,

et laisser Y sans changement.

Or, ces deux substitutions successives reviennent à mettre immédiatement dans Féquation primitive les valeurs sui-