DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ

vanles

z ■= Z cosy — Jisiny,

x= (Zsiny-l- JTcosy) cbsO — l^sîn9,

y = (Z siny -h Xcosy) sinO H- l^cosÔ.

Faisons donc cette substitution immédiate, mais en n'écrivant que I,es termes en XZ et JTZ, que nous voulons faire disparaître. Nous aurons ainsi les tel*mes :

a^sinycosy cos'O XZ — a^siny sindcosd] VZ

-H 2y^'siny cosy sih'6 -h a^'siny sinOcosô

— ^-^''sinycosy — ^cosysinO * -h ff cos' 7 çosO ^ jS" cos y cos

— .Csin'ycosO -f-£^'cos'ysin0

— fi^sin'y sinO

Il s*agit maintenant de démontrer qu'il existe toujours, pour l'axe OZ une position telle, que les angles d et y qui lui appartiennent rendent nuls ,. dans l'équation transformécf, les deux polynômes coefficients de XZ, et de YZ.

Prenons sur OZ, à partir de l'origine, une distance représentée par I. Appelons a, ^i-c , ses projections sur les trois axes primitifs, et d sa projection sur l'axe Ox'. Il est facile de voir qu'on a

cosy = c, siay = o, cos0 = -^î sin» = -^«

Substituons ces expressions dans les deux polynômes coefficients de XZ et de ÏZ, que nous égalerons à zéro ^ nous aurons deux équations :

ab ^f cb

ca

^50 ÉQVATIONS *

OU plus simplement

} ' \ ' • ■^B"b[c*—d*)—o, (2) !i{u4 — A')ab-j-B'cb — B"ca = o.

Ces dénie équations jointes aux deux relations

* ^renferment les conditions, nécessaires pour' déterminer les quantité»â , b c ^*d'bù dépend la position de Taxe OZ. . . En multîpliatit Téquation (i) par a et l'équation (2) par bc , puis ajoutant , on trouve

2 ^ac (a'+ i*.) — ^j4''acd* 4- B' c* (a* + 6»)

■+- B' a* d* — B" abd* = o ,

•ou 5 en divisant, par d^ égal à a* -f- i*,

(3) !i{J — A'')ac-^-'&c^ — S'a^^B"ab = o.

Les équations (2) et (3) se simplifient encore en posant-

- = a , /- = (3, et en 'substituant a = ca^ i =: <?P ; elles ce • .

deviennent

(4)' [a(^ — ii')«-i-£']|3 — S"a = o,

. * 'd'où, en'élilninant j3, on tire Téquation finale en a :