IJ __ ^') ^.;,^ ^ 4 (^ ^ J') [A - A

a:'-iB'(A-~A')\oL-B'' = o -iB'[A--A')\

Nous 'n'avons pas à nous occuper du cas où B^ et fi" seraient tous deuK nuls , puisque l'équation du n^ 189.'ne conviendrai t-p'a s les produits xz etyz. Si B' seul était nul, il

DES SURFACES DU SECOND OEGKE. l^I

suffirait de faire permuter Taxe des x et celui des j^ pour que le coefficient de xz dans cette équation devînt B" et cessât par conséquent d'être nul. Nous ne nous arrêterons donc pas non plus à cette hypothèse.

Si l'on avait j4 = ji\ l'équation (6) réduite *à

aurait nécessairement deux racines réelles.

Dans tout autre cas, il existera toujours au moins une valeur réelle de a, positive ou négative, qui satisfera à l'équation (6) : car c'est, en algèbre, une proposition générale et facile à démontrer que toute équation de degré impair, à Une inconnue^ a au moins une racine réelle. Cette valeur de a étant substituée dans l'équation (4)5 celle-ci donnera la valeur correspondante et également réelle de |3. Enfin , a et |3. étant connus , les équations

a = c(x^ b = cfi^ a*-f- i'-f- c'= I,

donneront aisément a, b, c, et, par conséquent , là direction OZ, qui est celle de la diagonale du parallélipipède rectangle dont les arêtes sont a , A , c , suivant les axes primitifs.

191. Il résulte de la démonstration précédente que l'équation la plus générale du second degré, après avoir subi, par le déplacement de deux axes, la modification indiquée au n^ 189, .pourra, au. moyeA d'une nouvelle transformation, être remplacée par une autre, comprise dans la for- . iDtile suivante, en coordonnées rectangulaires :

A,x'-^ji\f-hA\z'-^B,xj

' H- C, X H- Cj\ -h C^ z -^ D =^0,

Le terme en Jty a été introduit par la, seconde transformation 5. mais, suivant robseryalion faite au n" 189, il^est

l5a CLASSIFICATION

toujours possible de le faire disparaître par le déplacemçnl des X et des y dans leur plan.

De là résulte cette conséquence fondamentale dans la classification des surfaces du second degré : c'est quer leurs équations en coordonnées rectangulaires peuuent toujours être amenées à ne plus contenir aucun des produits xy, xz^yz.

§ XL CLASSIFICATION DES SURFACES DU SECOND DEGRfi.

192. Toutes ces surfaces sont comprises (191) dans l'équation suivante en coordonnées rectangulaires :

Px^+ py -f. P''z«4- 2 Qx H- aQ'j -f- 2 Q"z -hR = o.

Les trois coeiBcients P, P\ P'\ ne peuvent être nuls à la fois (187, i^). Supposons d^abord i\\jL aucun d'eux ne le soit. On pourra écrire ainsi l'équation :

= £+£.■ H-^-Jî

ou , en transportant les axes parallèlement à eux-mêmes ,

Pjt«-+-py-hP'^^* = 5.

Le caractère général des surfaces exprimées par cette formule est que Forigine actuelle des coordonnées est le milieu de toute corde passant par ce point. En effet , si certaines valeurs de x^yeX z^ sont les coordonnées d'an point de la surface, et satisfont, pat: conséquent, à la dernière équation, des valeurs égales et de signes contraires y satisfont également, et sont évidemment les co0(*données d'un point situé à la même distance de Forigine, à Fopposé du premier.

LES SURFACES DU SECOND DEGRÉ. l53

Le point milieu de toutes les cordes qui y passent s'appelle le centre de figure ^ ou simplement le ce/i^re de la surface.