CLASSIFICATION DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ

OU, en transportant parallèlement les axes dex et desjj

équation qui comporte trois cas distincts.

210» Fil' Cas particulier. Si aucun des coefficients Q, Q'\ n'est nul, quel que soit S^ la surface coupée par un plan quelconque parallèLe au plan des x et y donne une droite parallèle à celle qui dans ce plan aurait Téquation

Les sections dans les plans des x ex. z et des j^ et z sont des paraboles -, la surface est donc un cy^lindre à base parabolique.

Il en serait de même si Fun des coefficients Q, Q', était nul 5 quel que fût S.

211. VIII" Cas particulier. Si Q.el Q' sont tous deux nuls, S ne l'étant pas, l'équation , réduite à JP'^z* = 5 ou

zz=.± i/-H7' exprime deux plans parallèles.

212. IX' Cas particulier. Enfin si Q, Q' et *S, sont nuls à la fois, l'équation P"^*=o, satisfaite seulement par ^=o, indépendamment de x et dey, exprime un seul plan, qui, par les transformations, est devenu celui des X et j. '

21 «^. Ainsi ^ outre les cinq principaux genres de surfaces que peuvenjt exprimer les équations du second degré à troié variables, on peut trouver comme cas particuliers :

Tfr)is espèces de cylindres, le cône, deux plans qui se coupent j deux plans parallèles, un seul plan, une droite et un p oin t un iq ue .

PLANS DIÀMÉTKAUX DES StJRFACES DU SECOND DEGRÉ. l6l

§ XII. PLANS DIAMÉTRAUX ET DIAMÈTRES DES SURFACES DU SECOND DEGRÉ. SIMILITUDE DES SECTIONS PARALLÈLES.

214, Quelle que soit une surface du second degré, prenons pour axe des z une droite qui la coupe en deux points, le plan des x eiy étant d'ailleurs quelconque, son équation sera de la forme

jz* 4- Ax^ -h A'y^ -h Bxy H- Sxz 4- B"yz

^Cx-^Cy^C^z-^D^xiS d'où

z = —^-{Wx^B''y-^C')±>[R, <

en désignant par R un polynôme en x et j^ du second degré au plus. On voit aisément par là que le plan dont l'équation est

coupe toutes les cordes parallèles à la première en leurs milieux. Ce plan s'appelle plan diamétral,

U existe une infinité de plans diamétraux, puisqu'on peut donner à une corde une infinité de directions.

215. Si Ton prend pour plan des .r et y le plan diamétral qu^on vient de trouver, en conservait le premier axe des z, l'équation de la surface ne contiendra plus z au premier degré et sera de la forme

z^'^AiX^-]-A\y*'hBiXy'hCiX-i'C\y'hD = o.

Cela étant, en changeant la position des axes des x et des j* dans leur plan, et laissant Taxe des z parallèle à sa première direction, on pourra réduire le polynâbie en x ety qui accompagne z* a trois termes ou à deux , suivant le

X6l PIANS DIAMÉTRAUX

cas (n°' (66 et 167). Donc Féquation de la surface deviendra

s' -h ikTy'-h Nx*-h P = o si elle a un centre,

oir

jz' -+- il/y'-f- Px = o si elle n'a pas de centre.

Ces formes sont précisément celles que nous ayons discutées aux n^' 194 et suivants. La seule différence est ici que les trois axes ne sont pas rectangulaires.

Il est à remarquer que, d'après ce qu'on a vu aux n*** 169 et 170, il y a une infinité de systèmes d'axes des j* et des x pour lesquels, l'axe des z restant le même, les formes des équations ci-dessus ne changeraient pas,

2i6. On appelle diamètre d'une surface du second degré une droite dont la propriété est de contenir les centres des sections faites par des plans parallèles entre eux.

D'après ce qu'on vient de voir, toute droite meaée par le centre d'une surface du second degré parallèlement à une ccrrck qui rencontre cette surface en deux points est un diamètre.

Lorsque trois diamètres sont tels, qu'en les prenant pour axes coordonnés on a l'équation de la surface sous la ferme

z' 4- itfj' -h iV^x* H- P = o,

chacun d'euxcohtient les centres des sections parallèles au

plan des deux autres ; on les appelle diamètres conjugués.

Lorsque l'équation d'un paraboloïde est sous la forme

z^-hMy-^Px=20,

l'axe des X est un diamètre •, mais il n'en est pas de même des deux autres axes.