Lemme. D'après la définition de la similitude en

DES SURFACES OtI SECOND DECAÉ. l63

général (*), deux courbes planes sont semblables et semblablement placées par rapport aux axes coordonnés, lorsque, l'équation de Vune étant F (x, y ) = o, Véquatîon de Vautre est F [kx, hy) = o, A: indiquant un nombre constant, qui est le rapport de sitmlitude, et la notation F indiquant la même fonction dans les deux équations •

Il résulte de là :

i*^. Que les deu^ courbes à centre dont les équations sont

(le coefficient n étant le même dans les deux équations), sont semblables et semblablement placées par rapport à Tori-

gîne si p et p' sont de même signe; car en faisant />'==: -^ i

{*) Un syslëme de points M, N, P,. . . (formant soit des lignes, soit des surfaces, soit un ou plusieurs corps), étant situé d'une manière quelconque dans l'espace, si Ton prend un point S aussi quelconque (pouvant comme cas particulier êtreTun de ceux du système), qu'on mène les droites SM, SN, SP, . . . , et que sur ces droites prolongées au besoin on porte , à partir du point, les distances SM', SN', SP', . . . , proportionnelles à SM, SN, SP,. . ., et dirigées respectivement dans le* même sens , les points M% N', P', ainsi obtenus, formeront un système semblable au système M, N, P,. . . , et semblablement placé par rapport au point S , -qui s'appelle pôle commun de simili^ ' tude. Les points M', N', P',. . ., sont respectivement homologues des points

M, N, P, Les droites M'N' et MN, qui joignent deux points d'un sys;0me

et leurs homologues dans Vautre , sont des droites homologues. Enfin deux plans passant Vun par trois points d'un système et Vautre par les tMs homologues du système semblable sont deux plans homologues. Cela posé, ou démontre: i° que dans deux systèmes semblables et semblablement placés deux droites homologues quelconques sont parallèles, et que leurs longueurs sont entre elles dans le rapport des distances de deux points bpmologues quelconques au p6lc commun ; 2<^ que les plans homologues sont parallèles; 30 que les a^igles plans, dièdres ou polyèdres, homologues, sont égaux. '— Deux systèmes peuvent être semblables sans être semblablement placés ; mais il faut pour cela qu'il soit possible d'en construire un troisième égal à l'un d'eux et en même temps semblable h l'autre et semblablement placé par rapport à un pôle commun. On démontre aisément d'apfès ces principes que deux systèmes semblables à un troisième sont semblables entre eux.

l64 SIMILITUDE DES SECTIONS PARALLÈLES

on voit que la seconde équation équivaut à

Qi^. Que deux paraboles quelconques dont les équations sont

sont semblables et semblablement placées par rapport à Vorigine si p et p' ont même signe», car si Ton fait p'= -^> la seconde équation équivaut à

A'y*= ap./ca:.

218. Théorème, i®. &i un plan coupe une surface du second degré suivant une courbe à centre, il en est de même de toutes les sections planes parallèles à la première : tous les diamètres principaux de ces sections sont» dans deux mêmes plans, et par conséquent leurs centres sont sur une même droite.

tP. Si Vuné des sections est une ellipse, toutes les autres sont des ellipses semblables dont les lignes homologues sont parallèles,

. i^. Si l^une des sections est une hyperbole, toutes les autres sont des hypetboles dont les asymptotes sont parallèles et qui peuvent former deux groupes distincts d^ hyperboles semblables,

4**. Si la première section est une parabole, toutes les sections parallèles sont aussi des paraboles, qui ont leurs diamètres principaux dans un même plan,

Démokstkatioit. 1^. Soit la première section rapportée à ses deux diamètres principaux pris pour axes rectangulaires des z ely. L'équation sera de la forme

-z*-hpy*+ 9 = o.

Imaginons le plan diamétral qui correspond ds^ns la sur-

DES SVRFÀCES DV SECOIID DEGRÉ. l65

face aux cordes parallèles à Taxe des z. Ce plau diamétral rencontrera le plan coupant suivant Taxe des y, puisque cet axe a, dans le plan de la section, la propriété de passer par les milieux de toutes les cordes parallèles à Taxe des :g. Enfin prenons l'axe des x, dans le plan diamétral, suivant le diamètre qui coupe en leurs milieux les cordes parallèles à Taxe des j^. L'équation de la surface rapportée aux trois axes ainsi définis sera de la forme

z^ H- PJ^ -i-g -h mx* -f- wa: = o.

Or, si, pour obtenir une section faite par un plan parallèle à celui des zy, on fait x= constante, on trouve une courbe ayant un centre situé sur l'axe des x et deux diamètres conjugués qui, étant dans les plans des zx et desyx^ sont parai* lèles aux axes rectangulaires des z et des y.

2^. Si la première section est une ellipse, p est positif^ et, tant que x iiest pas assez grand pour rendre imaginaires les sections parallèles, ces sections restent des ellipses semblables, puisque le coefficient p dey* ne change pas. Par la même raison les axes homologues des sections sont dans un même plan.

3®. SI la première section est une hyperbole, p est négatif et peut être remplacé par — /'^ l'équation de la surface devient

z^ — /y H-<jf-h/iwc*-!-iix = o.

La préVnièi'e section a pour asymptotes deux droites dont les équations sont

et, suivant que^ est positif ou négatif, l'axe des z est le diamètre principal trans verse ou non transversc.

Toutes les sections parallèles seront également des hyperboles, puisque le coefficient — /" de j^* ne change pas, et

l66 SIMILITUDE DBS SECTIONS PàHALLELES , ETC.

leurs asymptotes, ayant toujours la même équation en z etj^, seront par conséquent dans deux mêmes plans et parallèles.

Ces hyperboles seront semblables tant que, en faisant yao rier x, on ne changera pas le signe du trinôme ^+'njt'-H/ix. Mais si ce signe change, le diamètre transverse de la nouvelle hyperbole devient parallèle au diamètre non transversp de la première, et vice vend. Les deux courbes ne sont plus semblables : Tune occupe les deux angles aigus de ses asymptotes, l'autre les deux angles obtus des siennes.

Quand le trinôme q -+- mx^ -+- nx peut changer de signe, il y a une valeur de x qui le rend nul, et alors la section se réduit à deux droites parallèles aux asymptotes des sections parallèles.

4°. Si la première section est une parabole, on peut choisir les axes rectangulaires des z et des y de manière que son équation soit

z^ — ^PJ = o.

Prenons l'axe des x dans le plan diamétral correspondant à Taxe des z ; F équation de la surface sera comprise dans Ja formule suivante :

les coefficients m, n^ q, pouvant être nuls séparément on tous à la fois. Or il est facile de reconnaître (138) que, si Ton y fait x ==. constante, on aura toujours Téquation d'une parabole dont le diamètre principal sera dans le plan des a: et^, par conséquent parallèle à Taxe des^. Ce diamètre sera dans le sens positif ou dans le sens négatif de l'axe çlesj-, suivant que 2p — nx sera positif ou négatif. Lorsque ce binôme sera nul^ la section dégénérera en deux droites parallèles, ou mérae en une seule droite si l'on a en ^èmc temps

2p — fïx = o et mx^~h qx ==xo.

tSÉNÉRATION DES SURFACES lIÉCLÉES J>V 6EC0K1» DEGRÉ. 167