DEGRÉ
219. Théorème. Toute surface engendrée par une ligne droite mobile qui s^appuie sur trois droites fixes non situées dans un même plan est une surface du second degré. C*est un Iijrperboloïde à une nappe si les trois directrices ne sont pas parallèles à un même plan, Cest un paraboloide hy^ perboUque dans le cas contraire.
290. Pour démontrer la proposition dans le premier cas, menons par chaque directrice deux plans respectivement parallèles aux deux autres. Nous aurons six plans parallèles deux à deux , déterminant un parallélîpîpède dont les directrices seront trois arêtes.
Soient LL'MM' (fig. 5a) ce parallélipipède, et LL', MM', NN', les trois directrices.
Par le centre O du parallélipipède , menons les trois axes coordonnés Ox, Oy et Oz, parallèles aux arêtes; ils rencontrent les faces aux points A , B , C*
Faisons OA = û, OB = i, OC = c.
Soient maintenant les équations d'une génératrice quelconque %
(i) 3c = mz -h n^
(2) y = m^z-hn\
Cette droite devant rencontrer la directrice LL', dont les équations sont y z=:b^ zt=z^^c^ il faut (176) que ces va* leurs dey et de z puissent satisfaire à Téquation (2). Ce qui fournît la relation
De même la condition de rencQntrer MM', dont les équa-
l68 GÉNÉRATION DE$' StikFACES RÉGLÉES
tiens sont x = -*- a^ z = c , donne Téquation (4) — a = mc-|-w.
Enfin la génératrice rencontrant NN', dont les équations sont a:.= a,7=^-&,ilya une valeur de z qui,, jointe à ces valeurs de x et j^, satisfait aux équations de la génératrice. D'où Ton conclut la relation
Les cinq équations ci-dessus posées existent pour les coordonnées d'un point quelconque de la surface et pour les constantes relatives à la génératrice 'passant par ce point. Donc si Ton élimine les quantités m^ n^ m\ n\ il restera entre les coordonnées x^jyZy une équa^tion qui sera celle de la surface.
De(i) et (4) on déduit
(6) X'ha = m{z — c) et — az — cx^=n{z — c).
De (2) et (3) on déduit
(7) y — 6 = m'(-z-hc) et i^ -hcy = /ï'(z-hc).
On peut tirer de là les valeurs de /m , /i , m', 71', et les substituer dans l'équation (5). H est aisé de reconnaitrc qu*on a^ sans écrire aucun calcul, en multipliant à vue le premier membre de (5) haut et bas par [z — c) , et le se-^ oond membre par (z + c), et mettant immédiatement pour n(z — c)^m{z — c), 7i'(z H-c) et m'(z 4- c), leurs valeurs tirées de (6) et (7) ,
a(z — c) -haz-^- ex — b{z^c) — bz — cy
d'où, faisant disparaître les dénominateurs et réduisant,
cxy -f- hxz -f- ayz -f- ahc = o , équation cherchée , qui est du second degré.
