DU SECOND DEGRÉ
La surface qu'elle représente a un centre , qui est Torigine ^des coordonnées , puisque cette équation élani satisfaite par trois valeurs de x, y el z^ Test également par ces trois valeurs changées de signe (192). D'après sa génération , cette surface est continue et d'une étendue illimitée^ elle n'est ni un cylindre ni un cône : donc elle est un hyperboloïde à urié nappe.
2S1 . Pour démontrer le second cas de la proposition du n° 219 : ^
Soit Oz {^fig^ 53) une position particulière de la génératrice, et soient O, B, C, les points où elle CQupe les trois directrices 00', BB', CC^ parallèles à un même plan«
Par le point O de la première menons les axes Ox, Oy., respectivement parallèles aux deux autres. 00' est dans le plan de ces deux axes.
Les équations des trois directrices, au moyen de ce choix des âxes, n'exigent que trois constantes , et sont telles que celles-ci : ^
Pour 00',
Pour BB',
Pour ce,
Cela posé 9 soient les équations d'une génératrice quelconque
z = mx-^p^ z z^ny-hg»
La condition où elle est de rencontrer les trois directrices fournira trois relations (176) entre les indéterminées 7», n^Py {jj et les constanties a , A , A', savoir :
Eliminant m^n^ p., </, des cinq équaiipns simultanées pré-
170 GÉMÉaATIOV DES StJRFACES HÉGLÉES
cédeutcs ; oa irouve
hy dh* X
ou
hzy '^ ali! zx — hh'y^-ah/i^x==o.
C'est réquatiou de la surface considérée, qui, comme on voit, est du second degré.
2S2. On peut aisément démontrer que celte surface n'a pas de centre. Si elle en avait un , en y transportant Pori- ^îne on ferait disparaître les termes du premier degré en Xy J'y z. Pour cela il faudrait substituer dans Téquation
jtr = a:'-4-«, y=^y*^^^ z = z'-h c.
Ecrivant seulement les termes du premier degré, on aurait
h (bz'^ çjr') —ah' (a^'-f- cz') ~ hh'y-+^ ahh'x'y on (bh — »ah') z'+ (ch — Iih') y— (ach'—ahh') x'.
Or, pour que ces termes disparussent, il faudrait qu'on put avoir à la fois
c — A'== o et c — A = 05
ce qui est impossible, puisque h diflère nécessairement de U. La surface du second degré dont il s'agit, n'ayant pas de centre et donnant des hyperboles pour sections par des plans parallèles à ceux des xz et desyr, ne peut être qu'un paraboloïde hyperbolique.
223. L'hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique sont utiles dans les applicadons de la Géo' métrie descriptive. Ils portent la dénomination commune surfçices réglées du second degré , et jouissent toutes deux
