DV SECOND DEGRÉ. 17I

d'une propriété remarquable : cest de pouvoir être engen^ drées de deux manières différentes par une ligne droite mobile qui ^appuie sur trois lignes fixes.

En effet, soient D, D^ 0'\ les trois directrices pritiiitives. Si M est un point de la surface^ c'est qu'il se trouve sur une génératrice G rencontrant D, D', D''. Soient G', G", deux autres génératrices satisfaisant à la même condition. U est impossible que deux des trois droites G, G^.G'"' soient dans un même plan , car ce plan contiendrait aussi au moins deux des directrices. Cela posé,* si Ton imagine qu'aune droite mobile glisse sur les trois droites G, G', G'', elle engendrera une surface réglée du second degré. Or cette droite mobile ayant dans chacune de ses positions trois points communs avec la surface primitive y sera con- ' tenue tout entière (187, 3°) : donc les deux surfaces coïncideront.

Suivant que les droites D, IV, D/', seroiît ou ne seront pas parallèles à un même plan , il en sera de même des gé* nératrices G, G', G''. D'où l'on conclut facilement que le paràboloïde hyperbolique peut être engendré par une droite mobile qui s^ appuie sur deux droites fixes en restant constamment parallèle à un même plan ,

224. Théorème. Si deux suif aces du second degré se rencontrent suivant une ligne plane et qu* elles se coupent encore suivant une autre ligne, cette seconde intersection est également plane.

Prenons le plan de la première ligne comînune pour celui des xy^ et supposons que Téquation de F une des surfaces soit

vx ijé'X*'i-JlY-hA^z*'hBxy''hB'xz + B^yz ^' j ^Cx^Cj-^C'z-hD=^o.

Véquation de la ligne commune s'obtiendra en faisant

l']'l IJ^TEllSECTIOMS PLAlieS DES SURFACES, ETC.

z = o et sera

Ax^-hA'j^+Bxj 4- Cx + C'j -h Z) = o.

U faut qu'en faisant x; = o dans réqûation de la seconde surface on obtienne une équation équivalente à celle-ci, et dont les coefficients soient par conséquent les mêmes, sauf un facteur constant commun. Donc si Ton supprime ce facteur dans Téquation de; la deuxième surface, etlc deviendra telle que celle-ci ,

, V ( Ax'+À^y^^Mz^ -h Bxy^ + N' xz + N"yz ^' { -f-CJt4-C'j-f-P2-4-D = o.

Les coordonnées x^ y^ z^ de tout point commun aux deux surfaces, satisfont à la fois aux équations (i) et (2), et par conséquent aussi à celle qu'on obtient en retranchant Tune de l'autre , savoir :

[A"— M) z'^ [B^—N') xz^[B"—N")yz^\C'—P) r=o,

ou bien

z\l(A"—M)z^{B'—N')xz-^{B"—N")yz-^{C'—P]=o,

Or pour satisfaire à cette équation il faut de deux choses l'une : ou qu'on ait z = o, c'est-à-dire que les points communs soient dans le plan des xy^ ou qu^on ait

(A"—M)z^{B'—N')x-\'(B" — N")yr^C"—P=^o,

c'est-à-dire que les points communs soient dans le plan exprimé par cette équation du premier degré. Ce qui démontre , la proposition.

Si l'on avait B'=N', B"=N\ C' = P, la seconde courbe ce confondrait avec la première.

TANGENTES A CERTAINES COURBES. 1 j3