NOTIONS DU CALCUL DIFFÉRENTIEL

§ I. PROBLÈME GÉNÉRAL DES TANGENTES. SOLUTIONS DANS LES CAS QfU LA COURBE PEUT ÊTRE EXPRIMÉE PAR UNE ÉQUATION DU PRE- MIER DEGRÉ EN COORDONNÉES POLAIRES, FOCALES, ETC.

225. Soîi M [fig» 54) ^n point fixe sur une courbe 5 soient M', M", . . . , diverses positions d'un second point considéré comme mobile sur la courbe et pouvant s'approcher autant qu^on veut de M sans jamais se confondre avec luî^ la sécante déterminée par ces deux points distincts prend diverses positions MS', MS'', . . . , et s'approche autant qu'on veut d'une position MT qu'elle n'atteint jamais. Cette position limite est celle de la tangente au point M pour la branche de courbe considérée.

Lorsque l'on dît que la tangente passe par deux points de la courbe infiniment vçisins Vun de Vautre^ ou.qvî'elie est le prolongement rectiligne d'un arc infiniment petit, on exprime d'une manière abrégée les mêmes idées que par la définition précédente; car oti fait entendre qu'une droite passant par le point donné M et pa-r un autre très-voisin M', pris également sur la courbe, forme avec la tangente un, angle nan-seulement très-petit ^ mais qu'on peut rendre aussi petit quon veut en diminuant suffisamment MM'.

226. La définition ordinaire de la tangente au cercle est en défaut pour beaucoup de courbes; exemples : sinusoïde, cycloïde, spirale. Au contraire, la définition généfale (n*^225) s'applique au cercle* En effet, à mesure que l'arc MM' (fig. 55) décroît j l'angle au centre MOM' devient

iy4 TANGENTES

aussi petit qu'on veut, et par conséquent Taiigle S' MO diffère aussi peu qu'on veut de T angle droit : donc la tangente en M est la perpendiculaire MX aii rayon OM.

227. Tangente à r ellipse. Soient F, F' les foyers (fig* 56), et M un point de la courbe. Pour avoir un second point M' de Fellipse, on porte une longueur arbitraire MN en -augmentation du rayon vecteur FM, puisMN' = MN en diminution de l'autre rayon vecteur F' M; et autour des centres F, F', on décrit les arcs NM', N' M'. Un point quelconque S de la sécante MM' jouît de cette propriété que, si l'on mène SR, SR', parallèles aux cordes M'N, M'N', on a MR = MR' comme MN = MN'. Or à mesure que M'M diminue, les angles M'NM5M'N'M, approchent autant qu'on veut d'ôlre droits ; de même les angles SRM, SR'M: donc la tangente MT est telle, que si d'un de ses' points on mène des perpendiculaires TV, TV' aux rayons vecteurs FM, J^'M, les distances MV, MV sont égales; donc MT est bissectrice de l'angle VMF'5 donc

angle TMF' = angle T'MF.

On arrive au même résultat de la manière suivante, par l'emploi des infiniment petits^ qui, dans un langage abrégé, souà-entend les idées intermédiaires ci-dessus exprimées. Pour obtenir un point Mi de l'ellipse infiniment voisin dv point donné M, il faut augmenter l'un des rayons vecteurs d'une longueur infiniment petite MNi, et diminuer l'autre d'une quantité égale MN'^*, puis décrire deux arcs N,Mi, N', Mt, des centrés F, F'; Ces arcs, infiniment petits, se confondent avec deux droites perpendiculaires en N| etW, sur MV et MF' -, donc la diagonale infiniment petite MMi dont le prolongement rectîîigne est la tangente divise l'angle VMP' en deux parties égales.