La notation lim--^ se «remplace par -t^> exprès

' sion qui peut se considérer sous t/'Oi> aspects difféi^ents.

.1°. •—- peut être considéré comme une simple notatiqn.

équivalente à celle-ci , lim -^'signifiant limite 'du rapport,

des accroissements simuhanés de y et de X à rftesure -que ces accroissements approchent de zéro. Sous ce point de

vue dj^et dx ne sont pas deux quantités : -p- en est une; '«^ ' :i— • est son inverse , c'est-à-dire lim — • •

'' îi°. On peut considérer dx et dy comnieaes accroisse^ ments qu-il faut donner à x et j^.pour passer du point M de la courbe à un autre point N de la tangente en M. Dans «ecas, dj^et dxsont deux quantités liées l^une à T autre par un rapport déterminé ; mais elles sont d'aiHeurs arbitraires. On peut alors écrire indifféremment, dans Texeiliple dun«234, •

-T^ = —-7 OU dr= — T-dx, ou a*dr = 3x*d:J?.

dx a* . •^ a^ ''...•

Sous ce second point de vue on peut faire Ax := dx, et.les ' trois quantités dx, ûj, dj, seront les açor.oissement5 '

l8o DIFFÉRENTIELLES

simultanés de Fabscisse, de l'orâonnée de la courbe 9 de Tordonnée de, la tangente. Ainsi pai; exemple on aura {fig' 63 ) en même temps

PP'=dx, M'Q = Ay, NQ = dj.

Les deux rapports V^ » ^ ? dont le second est la limite

^* ux ûx

du premier, oiit donc une différence qui décroit autant

qu'on veut à mesure que do: diminue. Ainsi on peut poser

Ar dr ^x ' dx

a quantité dépendante de dx et devenant aussi petite qu'on veut à mçsure que àx diminue. Il en résulte qu'à mesure que les quantités Ay, dy, décroissent. par suite de la diminution de djr, le rapport de A^ à Ay approche autant qu'on veut de l'unité -, car Féquation ci-dessus donne

ts,y dx

dy dy

3°. Le troisième mode de considérer Aj et Ax esjt une conséquence des observations précédentes. On peut assigner à dx un tel degré de petitesse, que Aj puisse, sans crainte dWreur dans les applications ou les conséquences q^u'on en ., , tirera, être pris pour Ay ou réciproquement. A ce degré de petitesse et au-dessous, les accroissements Ax elAy sont dits infiniment petits y et Ay peut alors être considéré indifféremment, et selon le besoin de la recherche dont on s'occupe, comme l'accroissement de l'ordonnée de la courbe ou de Tordonnée de la tangente. Considérés sous ce dernier point de vue, les accroissements simultanés Ax et Ay s'appellent les .différentielles des variables x et y.

5. Lorsque deux quantités variables sont tellement liées que, une valçur quelconque de l'une d*elles étant

ET DÉRIVÉES. l8l

donnée, on peut en conclure la valeur correspondante de l'autre, on dit que chacune des variables e&l fonction de rautre.

Si ^ est exprimé immédiatement au moyen de x, comme

dans jr = ax, y = \^ J = ^, y—-^% y=za\o%x^

y :z=: a sin x^ on dit que y est une fonction explicite de x^ et l'on se sert des notations j' = f (x), ^ = F (:c), etc.

Si Ton donne seulement une relation entre y et jr, par «xemple une équation à laqûeUe les deux variables doivent satisfaire^ la fonction qui n'est pas exprimée immédiatement au moyen de l'autre variable est dite implicite^

Exemple: ^4-^,-1=^0.

Une relation de ce genre s'écrit ainsi en général :

Dans les autres exemples ci-dessus, x est fonction implicite dé y. Une fonction implicite devient explicite par U résolution de l'équation. Par exemple on lire des étjuations précédentes

r « - 'og r ^

a y -^ ' logyf

X = arc ( sin = — 1 î j = ±: - y^a*— x%

ou

x=±j^slb^ — y^.

237. Toute fonction peut être représentée par une couirbe-, ce qui fait pressentir Futilité très-étendue de la recherche des tangentes aux * courbes comme moyen de recoijinàîire comment Une fonction varie dans le voisinage

l8a DTFFÉREIfTiATIOM

d'une de iSes valeurs particulières. En général y étant une . fonction de x 'désignée par F (x), la quantité -p- en est

une autre qu'on désigne par F' (a;), et qu'on appelle la dériuée de F (a:). Le produit F'(x) àx s'appelle la différentielle de F (x) . La recherche du coefficient d'inclinaison t^

des courbes ourde la dérivée d'une fonction quelconque est le premier objet du calcul différentiel et a des applications importantes dans la mécanique.

238. Quand deux variables y et x sont liées l'une à Tautre, on peut avoir à considérer tantôt la dérivée -p- de j

par rapport à x, tantôt la dérivée — de x par rapport kj.

Or il est .clair que ces deux quantités sont inverses l'uruB de l'autre, car la relation

Ax ày ' .

subsiste* pendant que les deux facteurs de ce produit ap^ . prochent de leurs limites par le décroissement simultané de Ax et de ùky.

Ainsi

dj dx

dx A y