Soity sislogx
On a donc
a:-+-A/=log (j:-f-Ax), d'où
On peut supposer que Air en décroissant soit toujours une partie aliquoté de plus en plus petite de x. *Soit donc
et
A j: = •— : le dénominateur m est dans cette hypothèse un
nombre entier qui croit indéfiniment. On a, en remplaçant
dans le second nombre ùkX par —9
^=i.mlog(i.-+-i^)=ilog(,+l)
d'où
dj d
ou bien
dx
f=ilim[log(i-+. !)"*],
en remarquant que ces limites sont prises pour m croissant indéfiniment.
242.- On a deux moyens de déterminer • la limite de log ( I H ) et par conséquent de constater son existence.
DES TOUCriànS FONDAMEMTAEES. * l85
(Il est à remarquer que, dans Texpression ( iH | > bien
que —devienne infiniment petit, on ne peut pas Icnégli-
ger auprès de i, parce que l'exposant m de là puissance devient infiniment grand. )
i\ Donner à m une grande valeur^ et chercher dans les
tables, pour cette valeur,, celle de log (iH |"* ou de
m [log (m -f- 1 ) — log m] ; par exemple pour m = lôoo
cette formule donne o,434> etil est aisé de vérifier que pour
tout nombre m plus grand on obtient les trois mêmes
premiers chiffres fractionnaires. Ainsi, à moins de o,ooi
près on a
dj > . ^ 1. dlogo; .« . I
j^y c est-a-dire — r^— = o,434 — ax , dx ^ X
2**. On peut trouver directement la limite dont s'ap-
/ I \"* proche sans cesse la quantité' 1 H- *- j ,à mesure que le
nombre entier m augmente. La formule de Newton, poussée au delà du (/H- i )""*'' terme, donne
OU bie
i-l-iH h. ..
\ ^J \ rn)"\ m J \ ^ ^ ^ \'~my y m )
La limite de la somme des n -+- 1 premiers termes à mesure
l86 • * DlFFÉRElITlAtlOM
que m augmenie est évidemihent :
