Soilj^ = sinA

On a

Ar :^ sin (x-i-A-^^) — sinj:^

ou, en remplaçant cette différence par un produit (39),

d'où

Aj == 2 sin — cos 1 X

asm —

r^ = — ^ cos

Pour déterminer la limite de ce rapport, il faut être bien

fixé sur la' signification qu'on attribue à la variable x^ H ne

suffitpas dé dire.que c'est un angle; il faut encore savoir

quelle est Tunité à laquelle cet angle est rapporté. Or l'usage

constant en analyse est de mesurer un angle par un arc

compris entre ses côtés et ayant son sommet pour centre, 'et

d'exprimer cet afc non en degrés ni par sa longueur, mais

par le rapport de cette longueur à celle du rayon qui par

Gonsréquent est arbitraire, et disparait. Si donc on suppose

ce rayon pris pour unité de longueur, la longueur de l'arc

e^rime l'angle, de même que la moitié de la corde qui sous- .

tend un arc double exprimée le sinus. Cela posé, la quantité

. \ àx ' • .

2sin —

— î rapport d'une corde à l'arc infiniment petit qu'elle

soiis-tcud, a sa limite égale à i .

D'une autre part, la limite de cos LrH \ est cos x\

l88 DIFFÉRENTIÀtlON

don(;

Ar dr lim -^ = v=^ = cos X ,

ou ' ,

dsmx = cosx.dj:.

§ IV. THÉORÈMES ET RÈGLES POUR DIFFÈREMTIER TOUTES LES FONCTIONS A l'aide DES DIFFÉRENTIELLES FONDAMENTALES.

244. Différentiation des fonctions de fonction,^ Expliquons cette locution par un exemple. Soit

j = (logx)'".

Pour obtenir y quand on connaît x^ il faut d'abord calculer log x^ fonction fondamentale de x^ puis élever log x à la puissance m, c'est-à-dire considérer j* comme une fonction fondamentale de log x* Soit en général

y = F(ii) et a=;f(a:), ce qu^on indique aussi par la notation

y est une fonction, fondamentale ou autre, désignée par F, d'une fonction indiquée par f de la variable indépendante X.

Poiir différentîerj^ relativement à celte variable x, supposons que celle-ci prenne, un accroissement Ax auquel correspondent pour u Gly les accroissements Aii et Ay. On

* a entre ces trois quantités la relation

^Y Ar Am

Ax ù^ii J^x Ovy à mesure que Ax décroit, Aii et A y approchent aussi