DES FONCTIONS. DE FONCTION
de zéro ; et les trois rapports approchent simultanément de
leurs limites respectives rr^» -r- et t— » l'équation sub-'
^ éx au ax ^
. sistant toujours. On a donc
dj dj rfw
da: ""^ dM dx
c'est-à-dire, d'après la notation convenue au n*^ 237,
ou •
dy = F'i;f(x)].f'(x)dx, ou encore
dj = F'(ii).di/.
De là la réglé suivante :
Théorème. Pour différentier une fonction de fonction, il faut prendre la dérivée de la fonction principale par rapport à la fonction subordonnée considérée comme une •simple variable et multiplier le résultat par la différentielle de la fonction subordonnée.
Exemples.
i^. d(logx)'" = m(logj:)'"~*dloga:
= m loge (logar)'"""* — •
„ , I dsinj; cotJ7j'
2°. d-: = 7-r— = : dx.
sinj7 sin*ar smx
3®. dçina:^ = cosa:"*dx^ = mx'^-^cosar^do:.
REMARQUE. Si la relation entre y et x était établie par deux équations de la forme
j==F(ii) et x=((u),
igo . DIFFÉHI^BÏTIATION
on démontrerait aussi facilement rëquatioii
dj Ïm ¥' [u]
dx
du
245. La fonction. subordonnée f(x) dans F [f (x )] peut être elle-inème une fonction d« fonction.
Soient trois fonctions superposées au lieu de deux ,
J=:F(m), li = 4>(i^), . t>t ' V= Y(x),
les. notations F, ^ et V indiquant des formes de fonctions quelconques. On a , d'après le théorème précédent,
. «d'où
du = ^^(s^)du' et d/~F'(M)da, dy=,F'(«)*'(v)d.',
formule dans laquelle df^ 'signifie V (x) dx, et ti/ est la
dv ' . • dérivée -p- multipliée par dx. ' . •
On peut aussi exactement et plus facilement écrire
j dj du , , 11 dr 'du
dj^ = -p • -p- • d i', pourvu qu on se rappelle qi^e ^ et -r-
sont les dérivées de^ et de u prises respectivement par rap- . part à zi et à ^, et que les différentielles ày et d (^ sont prises relativefaient 'à une niéme variable indépendante.
Exemple : d sin* x* == 4 sin* x** d sinx'
= 4sin'x*. cosx*d (x*) • =*8xsîn'x*cosx*dx.
246. Des fonctions composées. Si, ayant plusieurs fonctions d'une variable x, on les combine ensemble par des opérations quelcoJaques, on forme une fonction composée.
DES EONCTIOVS COMPOSÉES. I9I
hxemple : r = — — : *•
} — log^
la formation de j eicige préalablement celle de fonctions moins compliquées x"*, ain' j:, \o^x.
Occupons-nous d'abord des cas les plus simples.
