DE$ FONCTIONS COMPOSÉES
OU plus. Simplement
d ^4i> ^=? ttd J^ -f- ^'d M,
étant bien entendu que la différen,tielle d'une fonction n'est . pas autre chose que la dérivée de cette fonction multipliée par la diiTéréntielle de la variable indépendante. Ce résultat -général s'énonce ainsi :
Théorème,. La différentielle d'un produit est égale ù la somme des résultats qu'on obtient par la differentiation Jatte en considérant successii^ement chaque facteur comme "variable et Vautfe €om,me constant.
Remarque. Ce théorème s'étend à un nombre quelconque defs^cteurs. Lé produit uvz étant considéré comme [uv) z, on a .
àuuz = u{fàz -^ zàu%^] or
dwp' = «dp* 4- t^d//, donc '
dm^^ = Mi'd-z -f- îizdi^ -f- i^zd!/.
La règle à suivre en général est manifeste.
251.. Le même théorème s'applique à un quotient, car on peut mettre celui-ci sous la forme d'un produit et se servir de la formule du n*» 240.
,1/ I , . j ï àu udv fdtt-— wdc d- = -du -f- Md-r = — = •
252. Règle générale de la differentiation des fonctions composées. Les théorèmes précédents suffisant à tous les besoins des applications du calcul différentiel. Cependant nous.ne croyons pas devoir passer sous silence une propo-^
1 94 DIFFÉRCM TI ATION
sition très-générale et très^remarquable qu'on trouve dans les traités spéciaux sur cette matière.
Soit j- = F (il, u)^ c'est-à-dire la fonction F de « et de i^, les quantités u et t/ étant elles-^mèmes des fonctions d'une variable indépendante x.
Pour arriver à la dérivée ~- j donnons k x un accroîs-
sèment fini Ax; les fonctions ?/, f^et ^prennent en conséquence les accroissements simultanés Au^ A(> et Ay, et
l'on a
Aj = F(ii-f- Au, i^-h Ai^) — F (1/5 i^).
Pour nous rendre compte de la loi suivie par cette différence quand Ax diminue dans i/ + Au et dans i^ -h A(^, supposons qu'au, lieu de faire croître simultanément â et i^ dans la fonction composée j^, on commence par accroître seulement Tune des deux fonctions composantes u, et qu'on forme ainsi F ( u 4- A a , w) .
Cette quantité s'introduit naturellement dans l'expression de Aj- qui prend la forme
Aj = F(u4- Au, 1^) — F (m, «^)
-f- F (m 4- Au, i^ -f- Aj/) — F (u H- Au , 1^) ;
par conséquent
[ Aj___ F(u-h Au, (4) — F(u, y) Au , V J Ax Au Aj:
^' j , F(u-f- Au, f-l-At/) — F(u-f-AU,i') Av
'. Ai' . Ajr
Passons aux limites vers lesquelles tendent ces quantités, à mesure que les accroissements Ax, Au, Ai^ et Af
approchent de zéro. Les limites de -— 9 — et — sont les . Ax Ax Ax
dérivées désignées, suivant la notation convenue, par -r-»
du dr
QX ÛX
DES FONCTIONS COMPOSÉES. Ip5
La limite (jiu rapport
lu
€st la dérivée par rapport à u de la fonction F (u, if) dans laquelle on ne ferait varier que u y en considérant if comme une constante. C'est ce qu'on appelle la dérii^ée partielle de F(«, f») ou de j)^ par rapport à u. On la désigne par
F„ (m, y)^ ou plus simplement par -r^ > en ayant soin de se
rappeler que, si l'on considère le numérateur ify comme un accroissement infiniment petit dey, il répond à la variation infiniment petite de u seulement , et non aux variations simultanées de u et de (^.
Enfin remarquons que, dans le rapport
F(m-4-Am, v^liv) — F(m-|-Am, i/)
le numérateur est l'accroissement que prend F (i/ H- Am, i^) quand on fait croître f de 4^ if. Par conséquent , si l'on fait varier A v seul et approcher de zéro , on aura pour limite . de la fraction dans cette hypothèse , la dérivée par rapport à p» de la fonction F { w -f- Am, i^) , et pour avoir ensuite la limite dont s'approche la fraction quand Au et A(> diminuent tous les deux, il ne reste plus qu'à faire Aii = o
dans F'^ [u -f- ^u , u)^ ce qui donne K {m, v)^ ou -r^> dérivée partielle de F ( u , i^ ) ou de j^ par rapport à i^.
En égalant les limités des deux membres de l'équation (i), on obtient la dérivée totale dej^, savoir :
dr dj Au dj di'
d^ dw àx Av àx
196 DIFFÉRENTIATION
OU, Te qui a au fond la même signification,
ày = ^ - dn-h -r^ • di^^
formule dans laquelle il faut bien remarquer cette anomalie peu conforme à la rigueur du langage' algébrique , que la notation df a trois significations différentes , puisqu'elle désigne dans le premier membre une différentielle totale, et dans le second des différentielles partielles. Mais les dénominatenrs du eidv^ du second membre empéch^gnt toute confusion.
La formule précédente y facilement étendue à un nombre quelconque de fonctions composantes ,' s^ énonce ainsi :
Théorème. La différentielle d'aune fonction composée est égale à la somme des résultats quon obtient en consi^ dérant successivement chaque fonction composante, comme variable et les autres comme constantes.
Les règles des n°* 247 et 250 sont des cas particuliers de celle-ci .
Exemple. Revenant à l'exemple cité au n^ 246, on trouve
xf"^ sin' JT
sans difficulté la différentielle de — -; qu'on met préa-
I — log^ ^ ^
lablement sous la forme — On a (n°' 249 et 250}
^uv z^^du 4- zudv — uvdz
Ensuite, de
i/ = .t"*, i' = sin* o: et -z = I — logT, on tire
da = /wx'"^*, df^= 2sinj:cosxda: = sin2a:d.r*5
et
dz = — r-^-dX'
Il ne reste plus qu'à substituer.
^ DES FONCTions IMPLICITES. igy
253. Dijférentiatioti. des fonctions iniplicàes. De^x quantités variables sontfonctions implicites Tune de l'autre, lorsqu'elles sont liées par une équation, indiquant entre ces quantités des opérations déterpiinées.
Exemples: i^. logj^ = sin jc ;
Dans chaque cas j)^ est en réalité une fonction de x, quoique non exprimée explicitement. Chaque membre est donc, ou fonction immédiate de x^ comme sin or, ou fonction de fonction dex, comme log^ o\xj^^ ou fonction de plusieurs fonctions de x, comme axy-^- x'. Or, quand deux fonctions d'une mèine variable sont égales, quoique différemment exprimées^ leurs dérivées et leurs différentielles, par rapport à cette variable, sont nécessairement égales.
De là le moyen de déduire d'une équation, comme celles
ci-dessus, l'expression en x et j^de la dérivée -p- bu de son inverse.
1°. De logj^ = sin.r on conclut
-—2 :- =s cosxdx.
'i^\ Dej'' = axj^-f-x'*
3j^^dj= ax-dj-Hû/dar-h 3x'dx.
De chacune de ces équations différentielles, on tire soit
T^ soit -T~9 en opérant comme si Ay et djX étaient dea
quantités finies.
Théorème. En général on tire d'une équation en x^y,
rf 'V* fi X
la valeur de -r^ ou de -r- en différentiant les deux mem-
dx dj "'•^
brds suii^ant les règles des fonctions de fonctions.
198 FOEMliLES
K la relation de x avec j^ était implicitemenl exprimée par deux équations entre ces deux quantités et une troisième variable z, comme
F(x,j, z) = o et f (x,j, z) =;= o,
pour trouver -p- il suffirait de différentier ces équations
par rapport à la variable x suivant la règle du n^ 252. On aurait, en dé^gnant simplement par F et fies deuxfonctions ci-dessus, . .
dF dF dj dF d£ __
Ax, dj dj: ûz é.x !
et
dï jif dj ^ d2 àx djr d^ dz dx
fi 2 ri V
d'où en éliminant -;— on conclurait -^ en fonction des dé-
ax Q.X
rivées partielles r— 9 -r-? etc., qui elles-mêmes sont des
fonctions Ae x^y ex z.
