Exemples. On trouvera sans difficulté
loge
d"log;r . • . .
— T~^— = T -2.3. . . (ra — 1) ( — i)" * d^» V f \ f
d^*^ \\oge/ ' ,
d"sinj7 . / 7r\
, , = sm ( a: -4- w - 1 7 d;r* \ ?7
d«cos:r / . 7r\
— = cos ( j: H- » -f l •
267» Nous avons vu (238) qu'en général x et j dépendant l'un de l'autre, on a toujours, comme si d;c et djr étaient de$ quantités finies,
dr
âx
H né faudrait pas penser qu'on puisse aussi simplement changer la variable indépendante lorsqu'il s'agit des dérivées des ordres supérieurs.
20l5 SENS DE TA CONCAVITÉ
Nous nous bornons k citer un exemple : J' = ^*' On trouve , '
d'où
dr d^
d^"~^'^ do: I
d^x I da: I
d^-" 2^2 jj^, ^^? '
ou bien
Ûx I "v
268. 4Se«5 de la conôauité des courbes. Il est facile d'apercevoir Tulilîté de la considération des secondes dérivées dans la discussion des fonctions et des courbes qui Iqs représentent, x et y étant les coordonnées variables dVne courbe, rapportée à deux axes, non-seulement l'équation j^ = .F(a:) qui les lie fait connaître rordonriée y qui répond à une abscisse x:; mais, si Ton calcule F' (wç), on trouve l'inclinaison sur Taxe des abscisses de la tangente au point M déterminé par ces deux coordonnées. Le signe de F' (a:) montre si la fonction F(x) croît ou décroit lorsque x augmente ^ il indique par conséquent si , à partir du |k)int M et en s'avançant dans le sens des x positifs, la <îourbe «;'él,ève ou s'abais;se relativement à une parallèle à l'axe des.r, et la valeur absolue que prend F' (jr) au point
DES QOUfVBES. HOJ
dont il s'agit montre la rapidité de cette élévation oude cet. abaissement.
. Faisant un pas de plus dans cette discussion, nous sommés amenés k cot(sidérer ce que devient F^(x) quand x aug-mente, Si F' (a?) reste constante^ sa dérivée F'' (x) est nulle; c'est le cas particulier d'une ligne droite, plus ou moins i&clinée sur l'axe des x, suivant |a valeur plus ou moins grandéde F'(a?).
Si F'' (x) n'étant pas nulle est positive, cela signifie que F' [x) augmenle quand on passe du. point M eu un point voisin du côté des x positifs ; donc TiiicHtiaisoti augmente^ et par conséquent la courbe tourne sa concavité dans le . sens dés y positifs. Ce serait le contraire si- F" (a:) était négative.
269. Points d'inflexion. Il peut arriver que pour tine certaine valeur de'x, F'' (x) soit nulle sans que F' (x) soit constante. Soit, pai> exemple,
j = F(x)=ax-h^
La courbe que <îelte équation exprime a son ordonnée y composée de aXy ordonnée d'tme ^T^H^ P^^^^*^ P?^^ l'ori-r
gine, el dç -tj> quantité de même signe que x. Ainsi, du
côté des X positifs, la courbe est au-dessus de la droite, c'est* à-dire qu'elle s'en écarts dans le sçns des j^ positifs', et du côté des X négatifs- elle est au-dessous.
La différentiation donne ,
'F'(x) = a-H^ et F"(x) = -^;
au point de la courbe qui se confond avec l'origine dçs coordonnées, on a
x = o et F'(x) =î: a -, -^
ÎXo8 MAXIMUMS
ainsi la courbe est tansente h \\i droite denit nous venons de parler. <^aiit à F'' {a:), elle est nulle à l'origine, el partout aillenrs elle est de même signe que x. Donc (2168) au delà de l'origine la courbe tourne sa concavité dans, le sens des y positifs, et en deçà de iVrigiûe elle la touinq en sens contraire, '
Le point qui fouit sur une courbe dfi cette propriété du changement de sens de la concavité s'appelle un poiht t^'iïiFLEi^roNi II est caractérisé par la condition que si y =r {{x) est l'équation de la courbe rapportée k deux axes, or' étant l'abscisse du point d'inflexion, la -seconde dérivée F [x) est nulle quand on y fait x,— x\ et a deux signes différents quand on y fait .r > .r'.et x < .r'.
270* Maximunu et minimums d-une fonction ou de V ordonnée d^une courbe. Si pour des valeurs croissantes de la variable ou de l'abscisse, la fonctioii ou l'ordonnée, après avoir augmenté, diminue^ et si, dans cet intervalle, la dérivée ou l'inclinai son, d'abord positive, puisnégative, varie d'une manière continue et conséquçmment passie pair zéro ; dans cette double hypotbèse, la valeur dé la fonction ou de
l'ordonnéej^ qui correspond à -—■ == o est dite un maximum
de cettie fonction. Elle serait un minimum dans le cas où la fonction d'abord décroissante aiigmenterait etisuite.
Dans lè premier cas, à mesure que la variable x augmente, la dérivée est décroissante avant comme .après le maximum^ et par conséquent la seconde dérivée estii^ativcy ce qui revient à dire que la courbe représentative de la fonction tourne sa concavité (268) dans le sens des y négatifs. Dans le second cas c'est l'inverse qui a lieu. Concluons :
Théorème. En général uri maximum ou un mikimum il' une fonction répond à une valeur de la variable gui
ET MINIMUMS. 20g
rend la dérivée nulle. Il y a maximum si, pour les valeurs de cette variable qui précèdent etqui suit^ent^ la seconde dérii^ée est négatii^e ; il y a minimum, si la seconde déris^ée est positive,
