Supposons que les deux termes de la fraction - de

viennent infinis. On peut alors écrire ^ = - et rentrer

u dans le cas précédent. Or

,1 de j I da .

d- = et d- = -5

donc pour x = x© on a

di^ u </'

du

u eu dx

ou

Q dv dv

dx

BÊVELOt^PEMttrrs fiK SÉRIE. Il5

C'est la même formule que pour le cas précédent.

Remarques. I. On voit que Tesprit de la méthode à suivre quand une fonction prend une forme singulière par suite d'une certaine valeur attribuée à la variable, consiste à substituer à cette valeur une autre qui en diffère très-peu , et à chercher la limite de la fonction à mesure que la différence diminue.

II. Si un facteur commun est en évidence aux deux termes de la fraction, il est clair qu'on doit immédiatement le supprimer.

Exemple :

' Jl.

^X-^Xft (X X^Y (a;— JCo)

\Jx'—x\ {x -- x.Y [x + x,)^ (^-t-:rro)'^ tjui tend vers zéro à mesure que x approche de OTo.

275. Dé{feloppement des fonctions en séries. Un em*ploi utile des dérivées successives se trouve dans le développement des fonctions en série suivant les •puissances entières de la variable. Le type de cette forme des quantités est la somme d'une progression géométrique. Soit

a-{- ax-k- ax^ -h ax^ 4- ... H- ctX

On sait que cette somme de n termes est égale à ^

c'est-à-dire que la somme des termes d'une progression géométrique est égale au terme qui viendrait immédiate-^

2l6 DÉVELOPPEMENTS

ment après le dernier, diminué du premier et diuîsé par la

raison moins i.

Si la raison x est plus petite que Tuaicé, la formule sub-

dur»-*

sîste, mais on peut la mettre sous la forme 5 c'est-

à-dîre que la somme des termes de la progression est égale au terme qui précéderait le premier diminué du dernier et dii^isé par Vinv^ersede la raison diminué de i.

Dans ce même cas où. la progression est décroissante, le dernier terme fla:"^* devient aussi petit qu'on veut, si Ton prend n assez grand ; donc à mesure qu^on augmente le nombre des termes , leur somme approche indéfiniment de