V. Soit jr=a-hx(x + i) (x — 2) = a-f- x' — x' — ax

L'ordonnée prend la valeur a en trois points dont les abscisses sont x = — i,x=:oet x=2. Si l'on fait x^ 2, y est >a et croit indéfiniment avec x\ si l'on suppose x<^ — i,y— « est négatif et sa valeur absolue croît indéfiniment avec celle de x.

En dîfférenliant on a

V (x) = 3x' — 2X — 2, qui devient nulle par

x = ^(i=fc^7),soît <

ET MINIMUMS. 311

el

quantité qui varie comme rordonnée d'une ligne droite.

Si Ton fait x = a:', cette seconde dérivée devient 2 ^y ; elle est donc positive non-seulement par x = x\ mais aussi pour les valeurs de x qui diffèrent peu de a:' en plus ou en moins. Donc à l'abscisse x' répond un minimum dey qui est approximativement

a — 2yii4«

De même, si Ton fait or = x'' dans l'expression de la se*

conde dérivée, elle devient — 2^5 elle est négative pour les valeurs de x peu différentes dex'^ en plus ou en moins. Donc à r abscisse x^^ répond un maximum dey qu'on trouve approximativement égal à

a -ho,63i.

La valeur de x qui rend F' {x) nulle, est a: = ^« Pour j:]> -j f [x) est positive, et la concavité de la courbe est dans le sens des y positifs. Pour jc <[ ^5 F (x) est négative,

et la concavité du côté des, y négatifs. Donc à j: = ~ répond un point d'inflexion de la courbe.

272. Remarques. I. Il faut se garder de penser que les expressions maximum et minimum d'une fonction ou de l'ordonnée d'une courbe signifient la valeur la plus grande et la plus petite que puisse prendre cette fonction ou cette ordonnée. L^ exemple IV le montre bien, puisque j^ finit par croître indéfiniment avec x positif et décroît de même quand x décroît, c'est-à-dire devient négatif et prend des valeurs absolues de plus en plus grandes.

ai 2 MAXIMUMS ET mihimums.

II. Une même fonction peut prendre plusieurs maximums ou plusieurs minimums (*) égaux ou inégaux. Exemples : i^. Pour^ = sinx il y a une infinité de maximums tous égaux à I, qui répondent à

et une infinité de minimums, égaux à — i , qui répondent à

le nombre entier n ayant telle valeur qu'on voudra, positive ou négative.

2°. Pour la fonction

qui devient — oo quand on fait j: = ± oo , on trouve aisément que la courbe a trois points où la tangente est parallèle aux ir-, qu^un minimum a répond à x = o, un maxi^ mum a -i- lo, 66 • . . répond à • x = — 2 , et un autre a -f- 4 j 33 . . . répond à x = i .

III. Un maximum et un minimum peuvent être indifféremment positifs ou négatifs. On doit se rappeler à cet égard qu^une quantité négative est d'autant plus grande que sa valeur absolue est plus petite, et "vice versa.

IV. Lorsque deux variables sont liées par une équation du second degré, on peut, en imitant le mode de discussion du n** 169, étudier la forme générale de la courbe exprimée

( *) Il n'est peut-être pas inutile de faire observer que, suivant le Dictionnaire de l'Académie française, le mot maximum est toujours un substantif, et qu'on doit par conséquent éviter les expressions telles que le poids maxinuan^ le prix maximum j etc. Encore moins doit-on dire la valeur maxima, la éUs^ tança ow la hauteur maxima, 11 faut dire le maximum du poids, du prix, de la valeur, etc. Au pluriel, il paraît convenable d'écrire maximums, comme on écrit les facturas, les factotums, les pensums.

VALEURS PARTICULIERES SOUS LA FORME *-. ai3

par cette équation, et en conclure, s'il y a lieu, soit le maxi'mwn et le minimum de Tune des variables, si la courbe a un centre, soit son maximum ou son minimum, dans le cas contraire. Cette variable étant désignée par x et Fautre par j", c'est par rapport à celle»ci qu'on résoudra l'équation.

273. Détermination des valeurs particulières qui, pour certaines Jonctions, se présentent sous iesjormes - ou -^• Soit

i{xy

et supposons qu'une valeur particulière de a:, désignée par Xo, rende nuls les deux termes de cette fraction. Par

exemple

1 — cos {x — x^)

^ sin {x — x,^)

Dans ce cas, on désigne souvent sous le nom de vraie valeur de la fraction la limite dont elle s'approche indéfiniment, à mesure que x s'approche de Xq.

Pour obtenir cette valeur, mettons x H- Ax au lieu de a:.

La fonction j devient en général - et se réduit par

a: = Xft à — » dont la limite, quand on fait décroître Lx.

Au

Au d^ F(:ro)

-— ou -;- = TTT — T 5

c'est-à-dire que la vraie valeur de j qui répond à Xo s!obtient en substituant aux deux termes de la fraction leurs dérivées, et faisant ensuite a: = Xo.

Si F' (.r J est encore nulle sans que f ' (xo) le soit, la va-

2l4 TALEURS PARTICULIÈRES SOUS LA FORME j.

leor particulière cherchée est nulle ; si c'est l'inverse, elle est infinie.

Exemple :

I — CCS [x — x^) ¥' {x) sin [x-^Xo]

^ sin [x — ^o) ' V (a:«) cos \x — x^

qui par a: = Xo donne^ = o.

On peut se figurer géométriquement la règle précédente. F (or) et f (x)j qui s'annulent par a:= x©, peuvent être prises pour les ordonnées de deux courbes qui se coupent sur l'axe des x, au point dont Tabscisse est jr^. Dans le voisinage de ce point, les courbes se confondent avec leurs tan» gentes, sauf une erreur qui diminue à mesure que x ap* proche de la limite x^. Donc le rapport des deux ordonnées

diffère de moins en moins de celui des coefficients angulaires

des tangentes, c'est-à-dire du rapport des dérivées F' ( x) et f (a:) pourx = a:<,.

Si F' (x) et V (x) devenaient toutes deux nulles par X = Xo , on leur appliquerait la même règle : on substitue-

rait a :, / / la traction ... , , » et ainsi de suite.