Soit pour second exemple

r Ax

Nous savons, que cette intégrale est arc tango:, de sorte que si elle est prise deo:=oàa:=:i, elle est égale à l'arc de

45**, c'est-à-dire à y

De là ridée de calculer Fintégrale indépendamment de la connaissance de?:, afin d'arriver à cette connaissance. A

cet effet, on développe -— — ; en une série qui n'est autre

que la progression

Par conséquent, en multipliant par dx et en intégrant à partir de or = o , on a

x^ x^ x^ arc tangx= x — 5" ^" F * '

série qui aurait pu être obtenue, mais beaucoup moins simplement, par la. formule deTaylor, En y faisant x = i , on a

TT I I i i 1 L

ou, en réduisant les termes pris deux à deux y

ir 1 1 I t

3 5.7 9- II 10. i5

Celle série peut donner la valeur de tt» pourvu qu'on en

prenne un assez grand nombre de termes , car elle est peu convergente.

Mais il vaut mieux dams la série dont' la limite est arc tango: donner à x une valeur plus petite que i qui réponde à une fraction connue de tt.

Un simple essai graphique fait connaître que la tangente

trigonométrique -= est celle d'un angle qui excède peu le quart de 45®. D'après cela , on est conduit, en appelant a Fangle ou Tare dont la tangente est 79 à poser

et à chercher la tangente de Tare b par la formule

tan

gA=tang(4^-; W"^^^7' -

donc

langû = ^>

2tan£;a 5

tane 20= — = —

^ I — tangua 12

, 2 tans; 2 a 120

tani;4^ = = '

I — lang'2a 119

d'où

langi = -5—

Connaissant ainsi les tangentes des arcs a et £, on a pu calculer ces deux arcs par deux séries convergentes et en