PAR APPROXIMATION

formule qui se simplifie beaucoup si les intervalles ô sont égaux :

321. Deuxième méthode d'approximation. Elle est fondée ^sur la quadrature exacte de la parabole du^ second degré dont Taxe principal est parallèle à l'axe des ordonnées.

Soient trois points Mo , M,, M (fig* j4)^ tellement situés, que leurs ordonnées soient équidistantes. Ainsi PoPi=Pi P. Ces trois points suffisent pour déterminer une parabole dont l'équation sera de la forme

y z= a -h bx -\- c.r ' .

Les coefficients a^b ^ c pourraient être déterminés en fonction des ordonnées j^ , j^y JT, et des abscisses correspondantes; on peut donc demander Taire du segment P^^M^MP en fonction des mêmes données.

On simplifiera le calcul en transportant l'origine des coordonnées au point Pq. L'équation de la courbe devient alors de la forme

(i) j = jo -4- i.r H- co:',

et si l'oii représente par JTla base PqP du segment ^ sou aire ?7 demandée est donnée par l'équation

!/■= I [y^Ax + bxAx-\-cx^àx) = Y^^~^

ou

î/= :| (6j«-|- 3 5JÏ -h a c.Y*).

Il ne s'agit plus que de faire disparaître de cette formule

les coefficients & et c , en y introduisant les ordonnées des points Ml et M, qui doivent satisfaire à Téquation (i).

Celles du point Mj sont j^, et — ; donc •

bX cX' Celles du point M sopt JTet X; donc

d?où Ton pourrait tirer les valeurs de iJTet cX^. Mais on arrive immédiatement au but en remarquant qu'on a

L'expression de Z7 devient donc

ou, si l'on représente par à la distance — de deux ordonnées consécutives ,

(*) Lorsque les ordonnées ^oi^it ^^ sont données graphiquement, et non en nombres, on peut aisément, comme Ta remarqué M. Poncelet, remplacer la longueur y^, -f- 4^1 -+- ^ par une ligne de la figure. Joignant M, et M par une droite dont le milieu est N, on a

d'où

donc

t^ = l(X-r,)(6j',-hQM.N) = (X-x„)^r/H-iM.N)

ou

L'=P„PxP,K,

le point K étant au tiers de la flèche M^N à partir de la courbe.

PAR APPROXTMAtlON. aS^

•522. Ayant à calculer Taire Po M^ MP d'une courbe quelconque [fig. ^5) , on divisera Tintervalle PoP en un nombre pair n de parties égales, et, en désignant par y©, y^^ y^ î • • . 7 Jn^x 5 Y'i les ordonnées consécutives , on aura approximativement Taire comprise entre les ordonnées j^o et

iP P

Yt , dont la distance est — - — ou 2 J« ^ n

aire P, M, = -^ ( j, + 4j, + j, ) .

De même , entre /j et 74 ,

ai re P, M; = - ( j, H- 4 j3 -h j, ) .

Enfin, entre y„5 et JT,

aire P„, M = -^ ( j„., 4- 4 j„.t -+- 1") • ' Donc Taire totale P^ M^ MP,

ou bien , si Ton appelle en général x^ et X les abscisses extrêmes correspondantes aux ordonnées j^o et J^,

-h l'iji -4-/4 -h . . . + Jn-Î ) .

Cette formule d'intégration ou quadrature approximative est due à Thomas Simpson. Pour que le résultat soit suffisamment exact , il faut que la courbe ne diffère pas trop d'une parabole du second degré , et que , par conséquent, les différences des ordonnées consécutives soient à, peu près en progression arithmétique.

323. Les ordonnées j^o^JTi 6* ^ {fis* 74) ét*n* éqnidîstantes, on peut chercher l'aire P^ M, comprise entre les deux premières en fonction de ces trois ordonnées et de la distance P^Pi égale h â. On trouvera , en suivant la marche précédente ,

aireP.M^M.P, = -^ (5j,-|- 8j.- T).

On a de même

aire P. M, MP = 1 ( 5 T-H 8j. -^ j J .

324. Les lecteurs sont invités à vérifier que, si Ton désigne par y^'ij'u Jt^ Y, quatre ordonnées équidistante» d'une parabole du troisième degré, on a Taire de cette courbe

325. Intégration par série. Lorsqu'une intégrale ne peut être obtenue par une formule générale, ou qu'il est difficile de la calculer exactement, on fait quelquefois usage d'un développement en série. Soit, par exemple,

ax

On peut développer (i — «jc) ' suivant letf puissances de ax^ d'après la formule deNevvton (277, I) appliquéeà l'exposant — --• Ou aura

(i — «a:)'==ri-t--aj:-4 — y à*x* H^ ' ■ > 'a g^ jc^+ . . .,

série convergente si ax est <[ i •