CHAPITRE V
APPLICATION DU CALCUL INFINITÉSIMAL A LA DÉTERMINATION DES CENTRES DE GRAVITÉ ET DES MOMENTS D'INERTIE.
§ I. DÉFINITION DU GSNTRE DE GRAVITÉ d'uNE LIGNE, d'uNE SURFACE OU D*UN CORPS GÉOMÉTRIQUE.
327. Si Ton partage une ligne, une surface ou un corps géométrique, en éléments infiniment petits, égaux ou inégaux, la somme des produits de ces éléments par leurs distances respectives à un plan (c'est-à-dire la limite des valeurs que prend cette somme à mesure que les éléments sont de plus en plus petits) s'appelle le moment de la ligne y de la surface ou du corps par rapport à ce plan. Cette dénomination dérive de considérations mécaniques dont on ne doit pas s'occuper ici.
Les produits relatifs aux éléments sont les moments de ces éléments. Les moments de deux éléments par rapport à un plan qui passe entre eux sont de signes contraires. La somme qui forme le moment total est une somme algébrique,
328. Théorème. Quel que soit un système d'éléments [ligne y surface y ou corps), il existe un point géométrique tellement situé, que le produit de la somme totale de ces éléments multipliée par la distance de ce point à un plan quelconque est égal au moment du système, cest^à-dire à la somme des moments élémentaires par rapport au même plan.
Ce point s'appelle le centre de grauite du système.
DE l&RAVtTÈ. a63
DÊifoiîSTKATioif. Soient deux éléments dont les grau-* deurs sont m', m"^ occupant les positions M', M'' (fig^yô)^
1°. Leur centre de gravité ne peut être que sur la droite M'M^, car autrement le moment du système de ces deux éléments pourrait être nul sans que la somme des moments élémentaires le fût.
2^. Soit G^ le centre de gravité encore inconnu» Si on abaisse sur un plan quelconque les perpendiculaires M'B', M''B^ G^'C, désignées para:', a?', X^ il faut démontrer que le point G" peut être choisi de manière que l'on ait
ou
Si l'on mène N'N'^ parallèle à B'B^ on a
Ainsi, pour que le point G" jouisse de la propriété énoncée, il faut et il suffit que l'on ait
m':/»"::M''N'':M'JN',
ce qui revient à .
c'est-à-dire que le centre de gravité de deux éléments est sur la droite qui joint ces deux éléments, et la partage en deux parties réciproquement proportionnelles aux grandeurs lies deux éléments^
Le point G'^ étant ainsi déterminé, l'équation
a lieu, quelle que soit la situation du plan de comparaison,
pourvu qu'on ait égard aux signes des ordonnées x\ x'\ X^',
Cette première partie de la démonstration s'applique
exactement à deux systèmes dont les grandeurs seraient îw', m"^ et dont les centres de gravité seraient en M', M'^ Le point G" déterminé comme on vient de le dire, c'està-dire situé sur la droite qui joint les deux centres de gravité M', M'', et la partageant en deux parties réciproquement proportionnelles aux grandeurs des deux systèmes ^ serait le centre de gravité de Tensemble de ces deux systèmes .
Soiept trois éléments m\ m", m"'^ occupant les positions M'. M'^ M"': On peut partager Tensemble de ces trois éléments en deux parties, dont l'une soit formée du système des deux éléments m', m", l'autre sera l'élément m'". Donc, d'après la remarque qui précède, le centre de gravité du système total est sur la droite qui joint le centre de gravité Cde l'ensemble des deux premiers éléments à la position M"'' du troisième, et il partage cette droite en deux ♦ parties réciproquement- proportionnelles aux grandeurs m' 4- m" et m"^.
Cette démonstration^ qui s'étend facilement à un nombre quelconque de points, prouve l'existence du centre de gravité tel qu'il a été défini, et indique le procédé graphique pour le trouver.
329. Si x' ^y\ z\ x"^y"^ 2", . . ., son t. les coordonnées rectangulaires des éléments d'un système dont, les grandeurs sont mfj m", . . . , et si X, J", Z, sont les coordonnées du centre de gravité, en désignant par S/nx la somme des moments m^ x' -\- m" x" -^ . . . , par ^mj et Zms les sommes analogues, enfin par Sm là somme des éléments, on a, en vertu du théorème précédent, .
Y Zmx «. i^my ^ "Lmz ,^.
2m 2/71 Sm ^ ' .
(*) Si tous les cléments w', m",. . . , du système étaient supposes égaux et que leur nombre fût n, les équations deviendraient, par la suppression d'un
330. Les dernières équations subsisteraient également pour des coordonnées obliques : car dans ce cas les coordonnées x'^ x" ^ , , .y X, par exemple, sont proportionnelles aux distances des points du système et du centre de gravité au plan des zy,
331. Ces mêmes équations s^appliquent au centre de gravité d'un système total composé de systèmes partiels dont les grandeurs seraient m', /»'', . . . , et dont les centres de gravité auraient les coordonnées x\ y\ z\ x", j"^ -s '',•.. ; c'est une conséquence facile à déduire du théorème du n^ 328. En général, la position du centre de gravité du système total ne dépend que de celles des centres de gravité des systèmes partiels et des rapports de leurs grandeurs. Elle peut se conclure de ces données par le même procédé graphique indiqué au w^ 328.
