IL DÉTERMINATION DES CENTRES DE GRAVITÉ DES LIGNES
332. On voit aisément que toute ligne courbe ou brisée ayant un centre de figure (cesl-à-dire un point qui- se trouve le milieu de toute corde ou diagonale passant par ce point) a son centre de gravité en ce même point. Le centre de gravité d'une ligne droite est évidemment son milieu.
333. Le centre de gravité d'un système quelconque de lignes droites se trouve par la propriété indiquée au ii° 331 .
334. Le centre de grauitéG du contour d'un triangle ABC (fig* 77) est le centre du cercle inscrit au triangle DEF
facteur commun,
C'est pourquoi le centre de gravité s'appelle aussi centre des distances mQjrennci,
^66 GEHiTass
formé par les droites qui joignent les milieux des trois côtés. Car le centre de gravité des deux côtés AB, AC, est sur la droite £F au point H qui divise cette droite en parties EH, HF, proportionnelles aux côtés AC, AB, ou à leurs moitiés ED, FD ; donc la droite DH qui contient G est bissectrice de l'angle EDF. De même G est sur la bissectrice FI de l'angle DFE. Donc
335. Le centre de gravité d'une courbe plane est dans le plan de la courbe. Pour le déterminer, il suffit de chercher ses distances à deux plans perpenculaîres à celui de la courbe; les distances de ces éléments à ces plans sont aussi leurs distances aux droites suivant lesquelles ils coupent le plan de la courbe. On dit alors que les moments sont pris par rapport à ces droites.
336. Centre de grav^ilé d'un arc de cercle ACB [fig'^S) . Il est sur le rayon OC passant par le milieu de Tare ; sa distance GO == a: se détermine en prenant les moments par rapport à OD perpendiculaire à OC. L'élément MM' de l'arc se confondant avec sa corde, dont le milieu est I, les deux triangles semblables MM'N, IKO, font voir que le moment élémentaire MM' X IK est égal à MN X 10, c'està-dire à la projection PP' du petit arc sur la corde AB, multipliée par le rayon. Donc la somme des moments élémentaires est égale à la corde entière AB multipliée par .le rayon. Or cette somme est aussi égale au moment de l'arc = arc ACB X x ; donc, si on désigne l'arc par a, la corde par c, le rayon par R, on a
ax = cR.
Si n est le nombre des degrés de l'arc, il faut faire
78^' ^' c=2Rsin(^-j ;
d'où
nie
337. Centre de grai^ité d'un arc AB d'une courbe quel^ conque (Jîg. 79). Soient L la lonfgueur de Tare AB, l^la distance de son centre de gravité G à un plan quelconque, d5 un élément de l'arc, y sa distance au même plan : on aura
Lr
= J jd5.
SiyJ ordonnée MP d'un point quelconque M, était une fonction donnée de la longueur s comprise sur la courbe entre un point fixe O et le point variable M, le calcul intégral pourrait donner la valeur algébrique de 1 ^d*. Si cette fonction est inconnue ou trop compliquée, on déterminera dans les cas particuliers la valeur numérique de jjds au
moyen de la formule de Simpson.
A cet effet on divisera la longueur L en un nombre pairn de parties égales ] des points de division on abaissera sur le
plan quelconque XZ des perpendiculaîresj^ojjTi' J^î v^jT/o et l'on aura très-approximativement, si le nombre n est suffisant,
jyàs== 5 -(jo-H4ji+iy84-4r34-2j4H~...+4jn-iH-J«)5 d'où *
Cette opération, faite successivement par rapport à trois plans quelconques, donnera les distances du centre de gra-
vite cherché à ces trois plans. Si la courbe est plane, deux distances suffiront ; une seule sera nécessaire si la courbe est orlhogonalement symétrique par rapport à une droite, et on n'aura qu'à opérer sur Tune de ses moitiés.
