Tangente à la spirale d'' jirchùnède

Soit M [fig* 6i) le point de contact donné, M' un point voisin sur la spirale, PMN un arc de cercle ayant O pour rentre, OP la direction initiale du rayon vecteur. Parla définition de la courbe on a OM' et OM proportionnels aux angles M'OP et MÔP, et par conséquent à PN et PM ; d'où

M'N : arc MN : : OM : arc PM.

Soita ce dernier rapport indépendant de la distance M'N. A mesure que M' se rapproche de M, Fangle MNM' approchef detre droit; l'arc MN approche d'être égal à sa corde; donc le rapport a approche d'être la tangente trigonométrique de Tangle M'MN des deux sécantes MS, MR. Mais ces deux sécantes approchent en même temps des tangentes , l'une MT à la spirale-, l'autre MU att cercle PMN. Donc a est la tangente trigonométrique de l'angle TMU.

Si OT' est perpendiculaire sur OM, on a

OM TTTvyfrn . OM

-pr=f = tanc UM 1 == a : mais a r= -— -- :

OT' ^ ' arcPM ^

donc OT' qu'on appelle sous-tangente y est égale à l'arc PM.

233. Tangente à la cycloïde (157). Soit M [fig, 62) le point de contact donné \ M' un point voisin sur la courbe '^