Cette formule donne , conformément aux résultats

démontrés par la géométrie, — — pour le volume de la

sphère dont a désigne le rayon. On obtient le même résultat d'une manière très-simple par la formule du numéro 337. En effet, l'équation de la surface de la sphère étant r=a, cette formule devient ici

iz

Mais /cty.cos. ty = sin. ty , et par conséquent / (fy.cos. + = 2.

Ii reste à prendre l'intégrale — I rfç, dont la valeur

est — — .

r Aires «es surfaces «'une ligure quelconque.

340. L'évaluation générale de Taire (Tune surface , dont nous supposons les points rapportés à des axes rectangulaires , dépend de considérations analogues à celles qui ont été présentées dans le numéro 335. Toute question de oe genre, qui pourrait être proposée, se ramènera toujours à déterminer la valeur de la partie de Taire d'une surface dont l'équation est

qui est comprise dans un contour dont la projection sur le plan des xy est une ligne quelconque donnée Mm^m, (fig. 52). Conservons les dénominations du n° 335, et désignons par r la valeur de la partie de Taire dont il s'agit, qui se projette sur le plan des xy en Mm,Nmt , et qui est une fonction déterminée de l'abscisse op ou x. L'intervalle pq représentant dx , la partie de Taire de la surface proposée qui se projette sur le plan des xy en tn^njfn, représentera dv. On aura

pour l'expression de », et

*<* dv,

pour l'expression de la totalité de Taire demandée, qui se projette en Mn^Nm,. Mais Taire projetée en mjfi^m, est la somme d'un nombre infini d'éléments différentiels , tels

que celui qui se projette sur le rectangle mvnp, dont le côté mv est égal à dx , et le côté ro^ est égal à <fy. On aura d'ailleurs l'expression de l'élément différentiel dont il s'agit en remarquant d'une part, que la surface proposée doit être regardée comme coïncidant dans l'étendue correspondante à cet élément avec son plan tangent mené au point dont m est la projection; et d'autre part, que l'aire d'une figure quelconque tracée sur un premier plan, est égale à Taire de la projection de cette même figure sur un second plan divisée par le cosinus de l'angle compris entre les deux plans. Or, le cosinus de l'angle que le plan tangent à la surface proposée forme avec le plan des xy étant, d'après le n° 217,

VWFW

on a évidemment

pour l'expression de l'élément différentiel de Taire de la surface qui se projette sur le rectangle mvn(x. Il en résulte qu'en omettant une quantité infiniment petite du second ordre, on aura

y, et y2 représentant les ordonnées mj> et mtp qui sont données en fonction de x; et par conséquent,

<=ï>î>\fWFm

jn de la portion de l'aire demandée qui se

projette en Mm, m,, puis

pour l'expression de la totalité de cette aire.

341, Nous appliquerons cette formule générale à la recherche de Taire de la surface sphérique, dont l'équation est

ou

l'origine des coordonnées .étant placée au centre , et a représentant le rayon. Cette équation donnant.

dz

dz

fitT

v'a«a.i y»» rfy Jà*—x*—y*'

et la limite de la surface dans le sens des y étant représentée

par l'équation

ou

qui appartient à l'intersection de cette surfece et du plan des ry; la loi mule du numéro précédent donnera

ou

pour l'aire de la moitié de la surface, qui est située audessus du plan des xy. Mais on a

-^ = = C + arcsin, — -

et, en prenant l'intégrale entre les limites indiquées,

Sl<*- & dy

n reste donc à prendre l'intégrale

ica

dont la valeur estSica*; ce qui donne 4rca* pour la valeur de l'aire entière de la surface sphérique.